Тематический план

  • Общее

    Институт математики, механики и компьютерных наук им. И. И. Воровича

    Направление "Прикладная математика и информатика"

    2017/2018 уч. г., 1 курс, 1 семестр

    Лектор к. ф.-м. н., доцент кафедры алгебры и дискретной математики М. Э. Абрамян

    1. Границы множеств
    • [1A/00:00 (09:55)] Аксиома непрерывности множества вещественных чисел
    • Границы и точные границы числовых множеств
          [1A/09:55 (16:59)] Ограниченные числовые множества: основные определения
          [1A/26:54 (03:38)] Точные границы числовых множеств: первый вариант определения
          [1A/30:32 (06:43)] Теоремы о существовании точных границ
          [1B/00:00 (13:34)] Точные границы числовых множеств: второй вариант определения
          [1B/13:34 (11:02)] Максимальный и минимальный элемент множества
          [2A/00:00 (03:23)] Единственность точных границ
    • Арифметические операции над множествами
          [1B/24:36 (06:09)] Арифметические операции над множествами: определения
          [1B/30:45 (12:50)] Теоремы о точных границах для суммы множеств
          [2A/03:23 (04:13)] Теоремы о точных границах для произведения множества на число
    2. Предел последовательности
    • Окрестность и симметричная окрестность точки
          [2A/07:36 (13:32)] Окрестность и симметричная окрестность: определение и свойства
          [3A/00:00 (01:21)] Дополнение. Пересечение окрестностей
    • Определение предела последовательности
          [2A/21:08 (06:29)] Последовательность: определение и примеры
          [2A/27:37 (07:52)] Как определить предел последовательности?
          [2A/35:29 (05:33), 2B/00:00 (01:07)] Определение предела последовательности на языке окрестностей
          [2B/01:07 (19:41)] Определение предела последовательности на языке симметричных окрестностей
          [2B/20:48 (11:47)] Примеры нахождения предела последовательности с использованием определения
          [2B/32:35 (08:29)] Пример последовательности, не имеющей предела
    • Простейшие свойства предела последовательности
          [3A/01:21 (13:39)] Теорема о единственности предела сходящейся последовательности
          [3A/15:00 (12:09)] Теорема об ограниченности сходящейся последовательности
    3. Свойства предела последовательности
    • [3A/27:09 (18:15)] Бесконечно малые последовательности: определение и свойства
    • [3B/00:00 (13:57)] Критерий сходимости последовательности в терминах бесконечно малых последовательностей
    • Арифметические свойства предела последовательности
          [3B/13:57 (11:16)] Формулировка теоремы об арифметических свойствах пределаи доказательство для предела суммы
          [3B/25:13 (06:00)] Доказательство для предела произведения
          [3B/31:13 (11:13)] Доказательство для предела частного
    • Переход к пределу в неравенствах
          [4A/00:00 (13:32)] Первая теорема
          [4A/13:32 (12:50)] Вторая теорема
    4. Бесконечные пределы
    • [4A/26:22 (04:59)] Окрестности бесконечно удаленных точек
    • Бесконечно большие последовательности
          [4A/31:21 (04:57), 4B/00:00 (11:24)] Определения и примеры
          [4B/11:24 (08:34)] Теорема о единственности предела бесконечно большой последовательности
    • [4B/19:58 (15:10)] Арифметические свойства бесконечно больших последовательностей
    5. Монотонные последовательности
    • [5A/00:00 (08:57)] Ограниченные и монотонные последовательности: определения
    • Сходимость монотонных последовательностей
          [5A/08:57 (15:50)] Признак сходимости для монотонных ограниченных последовательностей
          [5A/24:47 (04:52)] Критерий сходимости монотонных последовательностей
    • Примеры применения теоремы о сходимости монотонных последовательностей
          [5A/29:39 (08:43), 5B/00:00 (02:36)] Пример 1: x_n = 1/q^n
          [5B/02:36 (11:54)] Пример 2: x_n = n/q^n
          [5B/14:30 (12:26)] Другие примеры
          [5B/26:56 (13:26), 6A/00:00 (11:32)] Предел последовательности (1+1/n)^n и неравенство Бернулли
          [6A/11:32 (08:40)] Возрастание последовательности (1+1/n)^n
    6. Теорема о вложенных сегментах и теорема Больцано-Коши о предельной точке
    • Теорема о вложенных сегментах
          [6A/20:12 (07:11)] Последовательность вложенных сегментов и последовательность стягивающихся сегментов: определения и примеры
          [6A/27:23 (13:30)] Теорема о вложенных сегментах
    • Предельные точки множества. Теорема Больцано-Коши
          [6B/00:00 (09:53)] Предельные точки множества: два определения, доказательство их эквивалентности
          [6B/09:53 (16:30)] Теорема Больцано-Коши о предельной точке
    7. Подпоследовательности. Критерий Коши
    • Подпоследовательности. Теорема Больцано-Вейерштрасса
          [6B/26:23 (05:32)] Подпоследовательности: определение и примеры
          [6B/31:55 (11:27)] Теорема о подпоследовательностях сходящейся последовательности
          [7A/00:00 (15:54)] Теорема Больцано-Вейерштрасса о сходящейся подпоследовательности
          [7A/15:54 (08:57)] Следствие
          [7A/24:51 (04:55)] Пример неограниченной последовательности, не имеющей предела
    • Фундаментальные последовательности. Критерий Коши сходимости последовательности
          [7A/29:46 (04:25)] Фундаментальные последовательности: определение
          [7A/34:11 (05:20), 7B/00:00 (26:41)] Критерий Коши сходимости последовательности
    8. Предел функции
    • Определение и единственность предела функции
          [7B/26:41 (19:39)] Различные определения предела функции и их эквивалентность
          [8A/00:00 (12:21)] Теорема о единственности предела функции
    • Критерий существования предела функции в терминах последовательностей
          [8A/12:21 (03:49)] Формулировка критерия
          [8A/16:10 (11:56)] Доказательство необходимости
          [8B/00:00 (13:41)] Доказательство достаточности
    • [8B/13:41 (20:11)] Примеры функций, имеющих и не имеющих пределы
    • [8B/33:52 (08:22)] Пределы функции в бесконечно удаленных точках и бесконечные пределы
    9. Свойства предела функции
    • [9A/00:00 (19:33)] Предел функции и арифметические операции
    • [9A/19:33 (15:26)] Переход к пределу в неравенствах для функций
    • Теорема о пределе суперпозиции функций
          [9B/00:00 (23:05)] Формулировка и доказательство
          [9B/23:05 (09:53)] Пример, показывающий важность условия 3 теоремы о пределе суперпозиции
    10. Односторонние пределы. Некоторые~важные~пределы функций
    • [10A/00:00 (07:32)] Определение односторонних пределов функций
    • [10A/07:32 (14:50)] Критерий существования предела функции в терминах односторонних пределов
    • [10A/22:22 (20:00)] Первый замечательный предел
    • [10B/00:00 (25:30)] Второй замечательный предел
    11. Пределы монотонных ограниченных функций. Критерий Коши для функций
    • Монотонные и ограниченные функции
          [10B/25:30 (10:13)] Монотонные и ограниченные функции: определения
          [10B/35:43 (02:35), 11A/00:00 (16:34)] Теоремы о пределах монотонных ограниченных функций
    • Критерий Коши существования предела функции
          [11A/16:34 (09:39)] Формулировка критерия и доказательство необходимости
          [11A/26:13 (12:19), 11B/00:00 (12:04)] Доказательство достаточности
    12. Непрерывность функции в точке
    • [11B/12:04 (09:27)] Определение непрерывной функции в точке
    • [11B/21:31 (09:55)] Примеры непрерывных функций
    • [11B/31:26 (08:09)] Простейшие свойства непрерывных функций
    • [11B/39:35 (06:02)] Арифметические свойства непрерывных функций
    • Суперпозиция непрерывных функций
          [12A/00:00 (17:50)] Теорема о пределе суперпозиции в случае, когда внешняя функция непрерывна
          [12A/17:50 (05:29)] Непрерывность суперпозиции непрерывных функций
          [12A/23:19 (17:34), 12B/00:00 (08:27)] Доказательство некоторых эквивалентностей
    13. Непрерывность функции на множестве
    • Теорема о промежуточном значении
          [12B/08:27 (02:50)] Функция, непрерывная на множестве: определение
          [12B/11:17 (19:22)] Теорема о промежуточном значении: формулировка и доказательство
          [12B/30:39 (07:00)] Следствие
    • Теоремы Вейерштрасса о свойствах функций, непрерывных на сегменте
          [12B/37:39 (03:58), 13A/00:00 (14:57)] Первая теорема Вейерштрасса
          [13A/14:57 (18:25), 13B/00:00 (07:09)] Вторая теорема Вейерштрасса
    • Равномерная непрерывность
          [13B/07:09 (08:45)] Функция, равномерно непрерывная на множестве X: определение, непрерывность равномерно непрерывной функции
          [13B/15:54 (09:41)] Пример непрерывной функции, которая не является равномерно непрерывной
          [13B/25:35 (04:01), 14A/00:00 (19:57)] Теорема Кантора
    14. Точки разрыва
    • [14A/19:57 (19:14)] Точки разрыва функций, их классификация и примеры
    • Точки разрыва монотонных функций
          [14A/39:11 (03:11), 14B/00:00 (13:33)] Теорема о точках разрыва монотонной функции
          [14B/13:33 (07:07)] Следствие
    • [14B/20:40 (13:07)] Критерий непрерывности монотонной функции
    • Теорема об обратной функции
          [14B/33:47 (08:49)] Формулировка и доказательство
          [15A/00:00 (08:44)] Примеры применения теоремы об обратной функции
    15. О-символика
    • [15A/08:44 (14:58)] Функции, бесконечно малые по сравнению с другими функциями
    • [15A/23:42 (05:15)] Функции, ограниченные по сравнению с другими функциями
    • [15A/28:57 (10:58)] Некоторые свойства, связанные с o-символикой
    • [15A/39:55 (05:28), 15B/00:00 (07:24)] Эквивалентные функции в точке
    16. Дифференцируемые функции
    • Предварительные замечания и основные определения
          [15B/07:24 (06:23)] Дифференцируемые функции: предварительные замечания
          [15B/13:47 (05:31)] Дифференцируемость функции в точке: определение
          [15B/19:18 (09:32)] Производная функции
    • [15B/28:50 (09:08)] Непрерывность дифференцируемой функции
    • [16A/00:00 (12:50)] Дифференциал функции
    • [16A/12:50 (10:50)] Производные некоторых элементарных функций
    17. Свойства дифференцируемых функций
    • Арифметические свойства производных и дифференциалов
          [16A/23:40 (14:47)] Теорема об арифметических свойствах производных
          [16A/38:27 (06:46), 16B/00:00 (07:45)] Следствия
    • Дифференцирование суперпозиции
          [16B/07:45 (15:16)] Теорема о дифференцировании суперпозиции
          [16B/23:01 (15:56)] Следствия
    • Дифференцирование обратной функции
          [16B/38:57 (04:55), 17A/00:00 (14:50)] Теорема о дифференцировании обратной функции
          [17A/14:50 (13:12)] Следствия: производные обратных тригонометрических функций
    18. Гиперболические и обратные гиперболические функции
    • [17A/28:02 (11:04)] Гиперболические функции и их свойства
    • [17B/00:00 (16:45)] Обратные гиперболические функции и их свойства
    19. Физический и геометрический смысл~производной
    • [17B/16:45 (08:23)] Физический смысл производной
    • [17B/25:08 (08:08)] Геометрический смысл производной
    20. Производные высших порядков
    • [17B/33:16 (14:19)] Производные высших порядков: определение и примеры
    • [18A/00:00 (03:08)] Производные высших порядков для суммы и произведения функций
    • [18A/03:08 (11:56)] Число сочетаний: определение и свойства
    • [18A/15:04 (22:00)] Формула Лейбница дифференцирования произведения
    21. Основные теоремы дифференциального~исчисления
    • Локальные экстремумы функций. Теорема Ферма
          [18A/37:04 (12:31)] Локальные экстремумы функций
          [18A/49:35 (02:40), 18B/00:00 (13:02)] Теорема Ферма
    • Теоремы Ролля, Лагранжа и Коши
          [18B/13:02 (11:12)] Теорема Ролля
          [18B/24:14 (09:45)] Теорема Лагранжа
          [19A/00:00 (18:01)] Следствия из теоремы Лагранжа
          [19A/18:01 (13:01)] Теорема Коши о конечных приращениях
    22. Формула Тейлора
    • Формула Тейлора для многочленов и произвольных дифференцируемых функций
          [19A/31:02 (09:58)] Формула Тейлора для многочленов
          [19A/41:00 (06:16)] Вывод формулы бинома Ньютона с помощью формулы Тейлора для многочленов
          [19B/00:00 (07:55)] Формула Тейлора для произвольных дифференцируемых функций
    • Различные представления остаточного членаnewline в формуле Тейлора
          [19B/07:55 (17:45)] Вывод общей формулы для остаточного члена в формуле Тейлора
          [19B/25:40 (12:51)] Представление остаточного члена в форме Коши и в форме Лагранжа
          [20A/00:00 (20:31)] Представление остаточного члена в форме Пеано
    • Разложение элементарных функций по формуле Тейлора в окрестности нуля
          [20A/20:31 (19:50)] Разложения функций e^x, sin x, cos x, sh x, ch x
          [20B/00:00 (15:52)] Разложения функций ln(1+x) и (1+x)^alpha
          [20B/15:52 (05:34)] Пример применения разложений для вычисления пределов
    23. Правило Лопиталя
    • [20B/21:26 (08:28)] Формулировка и доказательство правила Лопиталя
    • [20B/29:54 (08:59)] Примеры применения правила Лопиталя
    • [21A/00:00 (17:34)] Дополнение. Пример дифференцируемой функции, производная которой не является непрерывной
    24. Применение дифференциального исчисления к исследованию функций
    • Локальные экстремумы функций
          [20B/38:53 (06:18)] Необходимое условие существования локального экстремума
          [21A/17:34 (07:51)] Первое достаточное условие существования локального экстремума
          [21A/25:25 (15:50)] Второе достаточное условие существования локального экстремума
    • Выпуклые функции
          [21B/00:00 (16:10)] Варианты определения выпуклых функций
          [21B/16:10 (15:42)] Достаточное условие выпуклости
    • Точки перегиба функции
          [22A/00:00 (07:37)] Определение точки перегиба
          [22A/07:37 (10:20)] Необходимое условие существования точки перегиба
          [22A/17:57 (07:04)] Первое достаточное условие существования точки перегиба
          [22A/25:01 (12:39)] Второе достаточное условие существования точки перегиба
    • Расположение графика функции относительно касательной
          [22A/37:40 (02:04), 22B/00:00 (10:37)] Теорема о расположении касательной в области выпуклости функции
          [22B/10:37 (09:46)] Теорема о расположении касательной в точке перегиба

    1. Boundaries of sets
    • [1A/00:00 (09:55)] The continuity axiom of real numbers
    • Boundaries and exact boundaries of number sets
          [1A/09:55 (16:59)] Bounded sets of numbers: basic definitions
          [1A/26:54 (03:38)] Exact boundaries of number sets: the first definition
          [1A/30:32 (06:43)] Theorems on the existence of the exact boundaries
          [1B/00:00 (13:34)] Exact boundaries of number sets: the second definition
          [1B/13:34 (11:02)] Maximum and minimum elements of a set
          [2A/00:00 (03:23)] Uniqueness of exact boundaries
    • Arithmetic operations on sets
          [1B/24:36 (06:09)] Arithmetic operations on sets: definitions
          [1B/30:45 (12:50)] Theorems on the exact boundaries of the sum of sets
          [2A/03:23 (04:13)] Theorems on the exact boundaries of the product of a set by a number
    2. Limit of a sequence
    • Neighborhood and symmetric neighborhood of a point
          [2A/07:36 (13:32)] Neighborhood and symmetric neighborhood: definition and properties
          [3A/00:00 (01:21)] Supplement. Intersection of neighborhoods
    • Definition of the limit of a sequence
          [2A/21:08 (06:29)] Sequence: definition and examples
          [2A/27:37 (07:52)] How to define the limit of a sequence?
          [2A/35:29 (05:33), 2B/00:00 (01:07)] Definition of the limit of a sequence in the language of neighborhoods
          [2B/01:07 (19:41)] Definition of the limit of a sequence in the language of symmetric neighborhoods
          [2B/20:48 (11:47)] Examples of finding the limit of the sequence using the definition
          [2B/32:35 (08:29)] Example of a sequence without limit
    • The simplest properties of the limit of a sequence
          [3A/01:21 (13:39)] The uniqueness theorem for the limit of a convergent sequence
          [3A/15:00 (12:09)] A theorem on the boundedness of a convergent sequence
    3. Properties of the limit of a sequence
    • [3A/27:09 (18:15)] Infinitesimal sequences: definition and properties
    • [3B/00:00 (13:57)] A criterion for convergence in terms of an infinitesimal
    • Arithmetic properties of the limit of a sequence
          [3B/13:57 (11:16)] Formulation of the theorem on arithmetic properties of the limit and proof for the limit of the sum
          [3B/25:13 (06:00)] Proof for the limit of the product
          [3B/31:13 (11:13)] Proof for the limit of the quotient
    • Passing to the limit in inequalities
          [4A/00:00 (13:32)] The first theorem
          [4A/13:32 (12:50)] The second theorem
    4. Infinite limits
    • [4A/26:22 (04:59)] Neighborhoods of the points at infinity
    • Infinitely large sequences
          [4A/31:21 (04:57), 4B/00:00 (11:24)] Definitions and examples
          [4B/11:24 (08:34)] The uniqueness theorem for the limit of an infinitely large sequence
    • [4B/19:58 (15:10)] Arithmetic properties of infinitely large sequences
    5. Monotone sequences
    • [5A/00:00 (08:57)] Bounded and monotone sequences: definitions
    • Convergence of monotone sequences
          [5A/08:57 (15:50)] A test of convergence for monotone bounded sequences
          [5A/24:47 (04:52)] Convergence criterion for monotone sequences
    • Examples of application of the convergence theorem for monotone sequences
          [5A/29:39 (08:43), 5B/00:00 (02:36)] Example 1: x_n = 1/q^n
          [5B/02:36 (11:54)] Example 2: x_n = n/q^n
          [5B/14:30 (12:26)] Other examples
          [5B/26:56 (13:26), 6A/00:00 (11:32)] The limit of the sequence (1+1/n)^n and Bernoulli’s inequality
          [6A/11:32 (08:40)] Increasing of sequence (1+1/n)^n
    6. Nested segments theorem and Bolzano-Cauchy theorem on the limit point
    • Nested segments theorem
          [6A/20:12 (07:11)] Sequence of nested segments and sequence of contracting segments: definitions and examples
          [6A/27:23 (13:30)] Nested segments theorem
    • Limit points of a set. Bolzano-Cauchy theorem
          [6B/00:00 (09:53)] Limit points of a set: two definitions, proof of their equivalence
          [6B/09:53 (16:30)] The limit point theorem (Bolzano-Cauchy)
    7. Subsequences. Cauchy criterion
    • Subsequences. Bolzano-Weierstrass theorem
          [6B/26:23 (05:32)] Subsequences: definition and examples
          [6B/31:55 (11:27)] The theorem on subsequences of a convergent sequence
          [7A/00:00 (15:54)] The Bolzano-Weierstrass theorem on a convergent subsequence
          [7A/15:54 (08:57)] Corollary
          [7A/24:51 (04:55)] An example of an unbounded sequence with no limit
    • Fundamental sequences. Cauchy criterion for sequence convergence
          [7A/29:46 (04:25)] Fundamental sequences: definition
          [7A/34:11 (05:20), 7B/00:00 (26:41)] The Cauchy criterion for sequence convergence
    8. The limit of a function
    • Definition and uniqueness of the limit of a function
          [7B/26:41 (19:39)] Definitions of the limit of a function and their equivalence
          [8A/00:00 (12:21)] The uniqueness theorem for the limit of a function
    • Criterion for the existence of the limit of a function in terms of sequences
          [8A/12:21 (03:49)] Formulation of the criterion
          [8A/16:10 (11:56)] Proof of necessity
          [8B/00:00 (13:41)] Proof of sufficiency
    • [8B/13:41 (20:11)] Examples of functions with and without limits
    • [8B/33:52 (08:22)] Limits at the points at infinity and infinite limits
    9. Properties of the limit of a function
    • [9A/00:00 (19:33)] Limit of a function and arithmetic operations
    • [9A/19:33 (15:26)] Passing to the limit of a function in inequalities
    • The theorem on the limit of superposition of functions
          [9B/00:00 (23:05)] Formulation and proof
          [9B/23:05 (09:53)] An example showing the importance of condition 3 of the superposition limit theorem
    10. One-sided limits. Some important function limits
    • [10A/00:00 (07:32)] Definition of one-sided limits of a function
    • [10A/07:32 (14:50)] Criterion for the existence of the limit of a function in terms of one-sided limits
    • [10A/22:22 (20:00)] The first remarkable limit
    • [10B/00:00 (25:30)] The second remarkable limit
    11. The limits of monotone bounded functions. Cauchy criterion for functions
    • Monotone and bounded functions
          [10B/25:30 (10:13)] Monotone functions and bounded functions: definitions
          [10B/35:43 (02:35), 11A/00:00 (16:34)] Theorems on the limits of monotone bounded functions
    • Cauchy criterion for the existence of the function limit
          [11A/16:34 (09:39)] Formulation of the criterion and proof of necessity
          [11A/26:13 (12:19), 11B/00:00 (12:04)] Proof of sufficiency
    12. Continuity of function at a point
    • [11B/12:04 (09:27)] Definition of a continuous function at a point
    • [11B/21:31 (09:55)] Examples of continuous functions
    • [11B/31:26 (08:09)] Simplest properties of continuous functions
    • [11B/39:35 (06:02)] Arithmetic properties of continuous functions
    • Superposition of continuous functions
          [12A/00:00 (17:50)] The superposition limit theorem in the case when the external function is continuous
          [12A/17:50 (05:29)] The continuity of the superposition of continuous functions
          [12A/23:19 (17:34), 12B/00:00 (08:27)] Proof of some equivalences
    13. Continuity of a function on a set
    • Intermediate value theorem
          [12B/08:27 (02:50)] A function continuous on a set: definition
          [12B/11:17 (19:22)] Intermediate value theorem: formulation and proof
          [12B/30:39 (07:00)] Corollary
    • Weierstrass theorems on the properties of functions continuous on a segment
          [12B/37:39 (03:58), 13A/00:00 (14:57)] The first Weierstrass theorem
          [13A/14:57 (18:25), 13B/00:00 (07:09)] The second Weierstrass theorem
    • Uniform continuity
          [13B/07:09 (08:45)] A function uniformly continuous on a set X: definition, continuity of a uniformly continuous function
          [13B/15:54 (09:41)] An example of a continuous function that is not uniformly continuous
          [13B/25:35 (04:01), 14A/00:00 (19:57)] Cantor's theorem
    14. Points of discontinuity
    • [14A/19:57 (19:14)] Points of discontinuity of a function, their classification and examples
    • Discontinuity points for monotone functions
          [14A/39:11 (03:11), 14B/00:00 (13:33)] Theorem on the points of discontinuity of a monotone function
          [14B/13:33 (07:07)] Corollary
    • [14B/20:40 (13:07)] Criterion for the continuity of a monotone function
    • Inverse function theorem
          [14B/33:47 (08:49)] Formulation and proof
          [15A/00:00 (08:44)] Examples of application of the inverse function theorem
    15. O-notation
    • [15A/08:44 (14:58)] Functions which are infinitesimal in comparison with other functions
    • [15A/23:42 (05:15)] Functions which are bounded in comparison with other functions
    • [15A/28:57 (10:58)] Some properties related to o-notation
    • [15A/39:55 (05:28), 15B/00:00 (07:24)] Equivalent functions at a point
    16. Differentiable functions
    • Preliminary remarks and basic definitions
          [15B/07:24 (06:23)] Differentiable functions: preliminary remarks
          [15B/13:47 (05:31)] Differentiability of a function at a point: definition
          [15B/19:18 (09:32)] Derivative of a function
    • [15B/28:50 (09:08)] Continuity of a differentiable function
    • [16A/00:00 (12:50)] Differential of a function
    • [16A/12:50 (10:50)] Derivatives of some elementary functions
    17. Properties of differentiable functions
    • Arithmetic properties of derivatives and differentials
          [16A/23:40 (14:47)] Theorem on arithmetic properties of derivatives
          [16A/38:27 (06:46), 16B/00:00 (07:45)] Corollaries
    • Differentiation of superposition
          [16B/07:45 (15:16)] Theorem on the differentiation of superposition
          [16B/23:01 (15:56)] Corollaries
    • Differentiation of inverse function
          [16B/38:57 (04:55), 17A/00:00 (14:50)] Theorem on the differentiation of an inverse function
          [17A/14:50 (13:12)] Corollaries: derivatives of inverse trigonometric functions
    18. Hyperbolic and inverse hyperbolic functions
    • [17A/28:02 (11:04)] Hyperbolic functions and their properties
    • [17B/00:00 (16:45)] Inverse hyperbolic functions and their properties
    19. Physical sense and geometric sense of the derivative
    • [17B/16:45 (08:23)] Physical sense of the derivative
    • [17B/25:08 (08:08)] Geometric sense of the derivative
    20. Higher-order derivatives
    • [17B/33:16 (14:19)] Higher-order derivatives: definition and examples
    • [18A/00:00 (03:08)] Higher-order derivatives for sum and product of functions
    • [18A/03:08 (11:56)] Number of combinations: definition and properties
    • [18A/15:04 (22:00)] The Leibniz rule for the differentiation of a product
    21. The basic theorems of differential calculus
    • Local extrema of functions. Fermat's theorem
          [18A/37:04 (12:31)] Local extrema of functions
          [18A/49:35 (02:40), 18B/00:00 (13:02)] Fermat's theorem
    • Rolle's theorem, Lagrange's theorem, and Cauchy's mean value theorem
          [18B/13:02 (11:12)] Rolle's theorem
          [18B/24:14 (09:45)] Lagrange's theorem
          [19A/00:00 (18:01)] Corollaries of Lagrange's theorem
          [19A/18:01 (13:01)] Cauchy's mean value theorem
    22. Taylor's formula
    • Taylor's formula for polynomials and for arbitrary differentiable functions
          [19A/31:02 (09:58)] Taylor's formula for polynomials
          [19A/41:00 (06:16)] Deriving the binomial formula using Taylor's formula for polynomials
          [19B/00:00 (07:55)] Taylor's formula for arbitrary differentiable functions
    • Various representations of the remainder term in Taylor's formula
          [19B/07:55 (17:45)] General formula for the remainder term in Taylor's formula
          [19B/25:40 (12:51)] Representation of the remainder term in the form of Cauchy and in the form of Lagrange
          [20A/00:00 (20:31)] Representation of the remainder term in the Peano form
    • Expansions of elementary functions by Taylor's formula in a neighborhood of zero
          [20A/20:31 (19:50)] Expansions of functions e^x, sin x, cos x, sinh x, cosh x
          [20B/00:00 (15:52)] Expansions of the functions ln(1+x) and (1+x)^alpha
          [20B/15:52 (05:34)] Example of using expansions to calculate limits
    23. L'Hospital's rule
    • [20B/21:26 (08:28)] Formulation and proof of L'Hospital's rule
    • [20B/29:54 (08:59)] Examples of applying L'Hospital's rule
    • [21A/00:00 (17:34)] Supplement. An example of a differentiable function whose derivative is not continuous
    24. Application of differential calculus to the study of functions
    • Local extrema of functions
          [20B/38:53 (06:18)] A necessary condition for the existence of a local extremum
          [21A/17:34 (07:51)] The first sufficient condition for the existence of a local extremum
          [21A/25:25 (15:50)] The second sufficient condition for the existence of a local extremum
    • Convex functions
          [21B/00:00 (16:10)] Definitions of convex functions
          [21B/16:10 (15:42)] Sufficient condition for convexity
    • Inflection points of a function
          [22A/00:00 (07:37)] Definition of an inflection point
          [22A/07:37 (10:20)] A necessary condition for the existence of an inflection point
          [22A/17:57 (07:04)] The first sufficient condition for the existence of an inflection point
          [22A/25:01 (12:39)] The second sufficient condition for the existence of an inflection point
    • Location of the graph of a function relative to a tangent line
          [22A/37:40 (02:04), 22B/00:00 (10:37)] A theorem on the location of a tangent line in the domain of convexity of a function
          [22B/10:37 (09:46)] A theorem on the location of a tangent at an inflection point

    • Лекция 1. Границы множеств (Lecture 1. Boundaries of sets)

      Лекция 1 состоит из двух частей (A/37:15, B/43:35) и включает русские и английские субтитры.

      Содержание лекции 1. [A/00:00] Аксиома непрерывности вещественных чисел. [A/09:55] Границы числовых множеств: определение. [A/26:54] Точные границы числовых множеств: первый вариант определения. [A/30:32] Теорема о существовании верхней (нижней) точной границы у непустого ограниченного сверху (снизу) множества. [B/00:00] Второй вариант определения точной границы. [B/13:34] Минимальные и максимальные элементы множества: определение, примеры множеств, содержащих минимальные и максимальные элементы. [B/24:36] Операции над числовыми множествами (сумма множеств и произведение множества на число): определение. [B/30:45] Теоремы о точных границах суммы множеств.

      Lecture 1 consists of two parts (A/37:15, B/43:35) and includes Russian and English subtitles.

      The content of the lecture 1. [A/00:00] Axiom of continuity of real numbers. [A/09:55] Boundaries of numerical sets: definition. [A/26:54] Exact boundaries of numerical sets: first definition. [A/30:32] Theorem on the existence of the least upper (the greatest lower) bound in a nonempty set bounded above (below). [B/00:00] The second definition of exact boundaries. [B/13:34] Maximum and minimum elements of a set: definition. [B/13:34] Operations on numerical sets (the sum of sets and the product of a set by a number): definition. [B/30:45] Theorems on the exact boundaries of the sum of sets.


    • Лекция 2. Предел последовательности (Lecture 2. Limit of a sequence)

      Лекция 2 состоит из двух частей (A/41:02, B/41:04) и включает русские и английские субтитры.

      Содержание лекции 2. [A/00:00] Единственность точных границ. [A/03:23] Теоремы о точных границах для произведения множества на число. [A/07:36] Окрестность и симметричная окрестность точки на числовой прямой: определения и свойства. [A/21:08] Последовательность: определение и примеры. [A/27:37] Как определить предел последовательности? [A/35:29, B/00:00] Определение предела последовательности на языке окрестностей. [B/01:07] Определение предела последовательности на языке симметричных окрестностей (на языке epsilon-N), доказательство равносильности двух определений. [B/20:48] Примеры нахождения пределов последовательностей. [B/32:35] Пример последовательности, не имеющей предела.

      Lecture 2 consists of two parts (A/41:02, B/41:04) and includes Russian and English subtitles.

      The content of the lecture 2. [A/00: 00] Uniqueness of exact boundaries. [A/03: 23] Theorems on the exact boundaries of the product of a set by a number. [A/07: 36] Neighborhood and symmetric neighborhood of a point on a number axis: definitions and properties. [A/21: 08] Sequence: definition and examples. [A/27: 37] How to define the limit of a sequence? [A/35: 29, B/00:00] Definition of the limit of a sequence in the language of neighborhoods. [B/01: 07] Definition of the limit of a sequence in the language of symmetric neighborhoods (in the language of epsilon-N), proof of the equivalence of the two definitions. [B/20: 48] Examples of finding limits of sequences. [B/32: 35] An example of a sequence without limit.


    • Лекция 3. Свойства предела последовательности (Lecture 3. Properties of the limit of a sequence)

      Лекция 3 состоит из двух частей (A/45:24, B/42:26) и включает русские и английские субтитры.

      Содержание лекции 3. [A/00:00] Окрестности точек (дополнение) и определение предела последовательности (повторение). [A/04:30] Теорема о единственности предела последовательности. [A/15:00] Теорема об ограниченности сходящейся последовательности. [A/27:09] Бесконечно малые последовательности: определение и арифметические свойства. [B/00:00] Критерий сходимости в терминах бесконечно малой последовательности. [B/13:57] Арифметические теоремы о пределах последовательностей: предел суммы, [B/25:13] предел произведения, [B/31:13] предел частного.

      Lecture 3 consists of two parts (A/45:24, B/42:26) and includes Russian and English subtitles.

      Contents of the lecture 3. [A/00:00] Neighborhoods of points (supplement) and definition of the limit of a sequence (repetition). [A/04:30] The uniqueness theorem for the limit of a sequence. [A/15:00] A theorem on the boundedness of a convergent sequence. [A/27:09] Infinitesimal sequences: definition and arithmetic properties. [B/00:00] A criterion for convergence in terms of an infinitesimal. [B/13:57] Arithmetic theorems on the limits of sequences: the limit of the sum, [B/25:13] the limit of the product, [B/31:13] the limit of the quotient.

    • Лекция 4. Бесконечные пределы (Lecture 4. Infinite limits)

      Лекция 4 состоит из двух частей (A/36:18, B/35:08) и включает русские и английские субтитры.

      Содержание лекции 4. [A/00:00] Теоремы о переходе к пределу в неравенствах для последовательностей: первая теорема, [A/13:32] вторая теорема. [A/26:22] Окрестности бесконечно удаленной точки. [A/31:21, B/00:00] Бесконечно большая последовательность: определение, [B/11:24] теорема о единственности предела бесконечно большой последовательности, [B/19:58] арифметические свойства  бесконечно больших последовательностей.

      Lecture 4 consists of two parts (A/36:18, B/35:08) and includes Russian and English subtitles.

      Contents of the lecture 4. [A/00:00] Passing to the limit theorem in inequalities for sequences: the first theorem, [A/13:32] the second theorem. [A/26:22] Neighborhood of an infinitely distant point. [A/31:21, B/00:00] Infinitely large sequence: definition, [B/11:24] the uniqueness theorem for the limit of an infinitely large sequence, [B/19:58] arithmetic properties of infinitely large sequences.

    • Лекция 5. Монотонные последовательности (Lecture 5. Monotone sequences)

      Лекция 5 состоит из двух частей (A/38:22, B/40:22) и включает русские и английские субтитры.

      Содержание лекции 5. [A/00:00] Монотонные последовательности: определения. [A/08:57] Теорема о существовании предела для монотонных ограниченных последовательностей. [A/24:47] Следствие: критерий сходимости для монотонной последовательности. [A/29:39, B/00:00] Примеры применения теоремы - нахождение пределов различных последовательностей: 1/q^n, [B/02:36] n/q^n, [B/14:30] n^(1/n), a^(1/n), q^n/n!. [B/26:56] Предел последовательности (1+1/n)^n и неравенство Бернулли.

      Lecture 5 consists of two parts (A/38:22, B/40:22) and includes Russian and English subtitles.

      Contents of the lecture 5. [A/00:00] Monotone sequences: definitions. [A/08:57] A test of convergence  for monotone bounded sequences. [A/24:47] Corollary: a convergence criterion for a monotone sequence. [A/29:39, B/00:00] Examples of the application of the theorem: finding the limits of various sequences: 1/q^n, [B/02:36] n/q^n, [B/14:30] n^(1/n), a^(1/n), q^n/n!. [B/26:56] The limit of the sequence (1+1/n)^n and Bernoulli’s inequality.


    • Лекция 6. Подпоследовательности (Lecture 6. Subsequences)

      Лекция 6 состоит из двух частей (A/40:53, B/43:22) и включает русские и английские субтитры.

      Содержание лекции 6. [A/00:00] Предел последовательности (1+1/n)^n (продолжение). [A/11:32] Возрастание последовательности (1+1/n)^n. [A/20:12] Последовательность вложенных и последовательность стягивающихся сегментов: определения и примеры. [A/27:23] Теорема о вложенных сегментах. [B/00:00] Предельные точки множества: два определения, доказательство их равносильности. [B/09:53] Теорема о предельной точке (Больцано-Коши). [B/26:23] Подпоследовательности: определение и примеры. [B/31:55] Теорема о подпоследовательностях сходящейся последовательности.

      Lecture 6 consists of two parts (A/40:53, B/43:22) and includes Russian and English subtitles.

      The content of the lecture 6. [A/00:00] The limit of the sequence (1+1/n)^n (continuation). [A/11:32] Increasing of sequence (1+1/n)^n. [A/20:12] Sequence of nested segments and sequence of contracting segments: definitions and examples. [A/27:23] Nested segment theorem. [B/00:00] Limit points of a set: two definitions, proof of their equivalence. [B/09:53] The limit point theorem (Bolzano-Cauchy). [B/26:23] Subsequences: definition and examples. [B/31:55] The theorem on subsequence of a convergent sequence.



    • Лекция 7. Фундаментальные последовательности (Lecture 7. Fundamental sequences)

      Лекция 7 состоит из двух частей (A/39:31, B/46:20) и включает русские и английские субтитры.

      Содержание лекции 7. [A/00:00] Теорема Больцано-Вейерштрасса о сходящейся подпоследовательности. [A/15:54] Следствие из теоремы Больцано-Вейерштрасса.

      [A/24:51] Пример неограниченной последовательности, не имеющей предела. [A/29:46] Фундаментальные последовательности: определение. [A/34:11, B/00:00] Критерий Коши сходимости последовательности. [B/26:41] Определение предела функции на языке окрестностей и на языке симметричных окрестностей (на языке epsilon-delta).

      Lecture 7 consists of two parts (A/39:31, B/46:20) and includes Russian and English subtitles.

      Contents of the lecture 7. [A/00:00] The Bolzano-Weierstrass theorem on a convergent subsequence. [A/15:54] Corollary of the Bolzano-Weierstrass theorem. [A/24:51] An example of an unbounded sequence with no limit. [A/29:46] Fundamental sequences: definition. [A/34:11, B/00:00] The Cauchy criterion for the convergence of a sequence. [B/26:41] Definition of the limit of a function in the language of neighborhoods and in the language of symmetric neighborhoods (in epsilon-delta language).


    • Коллоквиум

    • Лекция 8. Предел функции (Lecture 8. The limit of a function)

      Лекция 8 состоит из двух частей (A/28:06, B/42:14) и включает русские и английские субтитры.

      Содержание лекции 8. [A/00:00] Теорема о единственности предела функции. [A/12:21] Критерий существования предела функции в терминах последовательностей, [A/16:10] доказательство необходимости, [B/00:00] доказательство достаточности. [B/13:41] Примеры функций, имеющих и не имеющих пределы. [B/33:52] Пределы в бесконечно удаленных точках и бесконечные пределы.

      Lecture 8 consists of two parts (A/28:06, B/42:14) and includes Russian and English subtitles.

      Contents of the lecture 8. [A/00:00] The uniqueness theorem for the limit of a function. [A/12:21] Criterion for the existence of a function limit in terms of sequences, [A/16:10] proof of necessity, [B/00:00] proof of sufficiency. [B/13:41] Examples of functions with and without limits. [B/33:52] Limits at infinitely distant points and infinite limits.


    • Лекция 9. Свойства предела функции (Lecture 9. Properties of the limit of a function)

      Лекция 9 состоит из двух частей (A/34:59, B/32:58) и включает русские и английские субтитры.

      Содержание лекции 9. [A/00:00] Предел функции и арифметические операции. [A/19:33] Переход к пределу в неравенствах для функций. [B/00:00] Теорема о пределе суперпозиции функций, [B/23:05] пример к теореме о пределе суперпозиции.

      Lecture 9 consists of two parts (A/34:59, B/32:58) and includes Russian and English subtitles.

      Contents of the lecture 9. [A/00:00] Limit of a function limit and arithmetic operations. [A/19:33] Passing to the limit in inequalities for functions. [B/00:00] The theorem on the limit of superposition of functions, [B/23:05] example to the theorem on the limit of superposition.


    • Лекция 10. Односторонние пределы (Lecture 10. One-sided limits)

      Лекция 10 состоит из двух частей (A/42:22, B/38:18) и включает русские и английские субтитры.

      Содержание лекции 10. [A/00:00] Односторонние пределы функций: определение. [A/07:32] Критерий существования предела функции в терминах односторонних пределов. [A/22:22] Вычисление некоторых пределов функций: первый замечательный предел, [B/00:00] второй замечательный предел и связанные с ним эквивалентности. [B/25:30] Монотонные функции, ограниченные функции: определения. [B/35:43] Теорема о пределе монотонной ограниченной функции.

      Lecture 10 consists of two parts (A/42:22, B/38:18) and includes Russian and English subtitles.

      Contents of the lecture 10. [A/00:00] One-sided limits of function: definition. [A/07:32] A criterion for the existence of the limit of a function in terms of one-sided limits. [A/22:22] Calculation of some function limits: the first remarkable limit, [B/00:00] the second remarkable limit and related equivalences. [B/25:30] Monotone functions, bounded functions: definitions. [B/35:43] The theorem on the limit of a monotone bounded function.


    • Лекция 11. Непрерывность функции в точке (Lecture 11. Continuity of function at a point)

      Лекция 11 состоит из двух частей (A/38:32, B/45:37) и включает русские и английские субтитры.

      Содержание лекции 11. [A/00:00] Теорема о пределе монотонной ограниченной функции (продолжение). [A/16:34] Критерий Коши существования предела функции: формулировка, доказательство необходимости, [A/26:13, B/00:00] доказательство достаточности. [B/12:04] Определение непрерывной функции в точке, [B/21:31] примеры непрерывных функций. [B/31:26] Простейшие свойства непрерывных функций: отличие от нуля и сохранение знака в окрестности точки, в которой непрерывная функция отлична от нуля. [B/39:35] Арифметические свойства непрерывных функций.

      Lecture 11 consists of two parts (A/38:32, B/45:37) and includes Russian and English subtitles.

      Contents of the lecture 11. [A/00:00] Theorem on the limit of a monotone bounded function (continuation). [A/16:34] Cauchy criterion for the existence of a function limit: formulation, proof of necessity, [A/26:13, B/00:00] proof of sufficiency. [B/12:04] Definition of a continuous function at a point, [B/21:31] examples of continuous functions. [B/31:26] The simplest properties of continuous functions: difference from zero and preservation of the sign in the neighborhood of the point at which the continuous function is non-zero. [B/39:35] Arithmetic properties of continuous functions.


    • Лекция 12. Непрерывность функции на отрезке (Lecture 12. Continuity of function on a segment)

      Лекция 12 состоит из двух частей (A/40:53, B/41:37) и включает русские и английские субтитры.

      Содержание лекции 12. [A/00:00] Теорема о пределе суперпозиции в случае, когда внешняя функция непрерывна, [A/17:50] следствие о непрерывности суперпозиции непрерывных функций. [A/23:19, B/00:00] Доказательство некоторых эквивалентностей. [B/08:27] Функция, непрерывная на множестве: определение. [B/11:17] Теорема о промежуточном значении, [B/30:39] следствие. [B/37:39] Теоремы Вейерштрасса о функциях, непрерывных на отрезке.

      Lecture 12 consists of two parts (A/40:53, B/41:37) and includes Russian and English subtitles.

      Contents of the lecture 12. [A/00:00] Theorem on the limit of superposition in the case when the external function is continuous, [A/17:50] corollary (the continuity of the superposition of continuous functions). [A/23:19, B/00:00] Proof of some equivalences. [B/08:27] A function continuous on a set: definition. [B/11:17] Intermediate value theorem, [B/30:39] corollary. [B/37:39] Weierstrass theorems on functions continuous on a segment.


    • Лекция 13. Равномерная непрерывность (Lecture 13. Uniform continuity)

      Лекция 13 состоит из двух частей (A/33:22, B/29:36) и включает русские и английские субтитры.

      Содержание лекции 13. [A/00:00] Первая теорема Вейерштрасса (об ограниченности функции, непрерывной на сегменте). [A/14:57, B/00:00] Вторая теорема Вейерштрасса (о существовании минимального и максимального значения функции, непрерывной на сегменте). [B/07:09] Функция, равномерно непрерывная на множестве X: определение, непрерывность равномерно непрерывной функции. [B/15:54] Пример функции, не являющейся равномерно непрерывной: sin(1/x) на (0, 1]. [B/25:35] Теорема Кантора о равномерной непрерывности функции, непрерывной на сегменте.

      Lecture 13 consists of two parts (A/33:22, B/29:36) and includes Russian and English subtitles.

      The content of the lecture 13. [A/00:00] The first Weierstrass theorem (on the boundedness of a function continuous on a segment). [A/14:57, B/00:00] The second Weierstrass theorem (on the existence of a minimum and maximum value of a function continuous on a segment). [B/07:09] A function uniformly continuous on a set X: definition, continuity of a uniformly continuous function. [B/15:54] An example of a function that is not uniformly continuous: sin(1/x) on (0, 1]. [B/25:35] Cantor's theorem on the uniform continuity of a function continuous on a segment.


    • Лекция 14. Точки разрыва (Lecture 14. Points of discontinuity)

      Лекция 14 состоит из двух частей (A/42:22, B/42:36) и включает русские и английские субтитры.

      Содержание лекции 14. [A/00:00] Теорема Кантора о равномерной непрерывности функции, непрерывной на сегменте (продолжение). [A/19:57] Точки разрыва функции, их классификация и примеры. [A/39:11, B/00:00] Теорема о точках разрыва монотонной функции, [B/13:33] следствие. [B/20:40] Критерий непрерывности монотонной функции f, определенной на сегменте [a,b], в терминах ее множества значений f([a,b]). [B/33:47] Теорема о непрерывности обратной функции.

      Lecture 14 consists of two parts (A/42:22, B/42:36) and includes Russian and English subtitles.

      Contents of the lecture 14. [A/00:00] Cantor's theorem on the uniform continuity of a function continuous on a segment (continuation). [A/19:57] Points of discontinuity of a function, their classification and examples. [A/39:11, B/00:00] Theorem on the points of discontinuity of a monotone function, [B/13:33] corollary. [B/20:40] A criterion for the continuity of the monotone function f defined on the segment [a, b], in terms of its image f([a, b]). [B/33:47] Theorem on the continuity of inverse function.


    • Лекция 15. О-символика (Lecture 15. O-notation)

      Лекция 15 состоит из двух частей (A/45:23, B/37:58) и включает русские и английские субтитры.

      Содержание лекции 15. [A/00:00] Использование теоремы о непрерывности обратной функции для обоснования непрерывности функций arcsin x и arctg x. [A/08:44] O-символика (символ о-малое): функции, бесконечно малые по сравнению с другими функциями; бесконечно малые и бесконечно большие функции более высокого порядка, примеры. [A/23:42] O-символика (символ О-большое): функции, ограниченные по сравнению с другими функциями. [A/28:57] Свойства, связанные с O-символикой; дополнительные сведения об O-символике. [A/39:55, B/00:00] Функции, эквивалентные в точке: определение и свойства. [B/07:24] Дифференцируемые функции: предварительные замечания. [B/13:47] Дифференцируемость функции в точке: определение. [B/19:18] Производная функции: определение; эквивалентность дифференцируемости в точке и существования в этой точке производной. [B/28:50] Непрерывность дифференцируемой функции; пример непрерывной функции, не являющейся дифференцируемой.

      Lecture 15 consists of two parts (A/45:23, B/37:58) and includes Russian and English subtitles.

      Contents of the lecture 15. [A/00:00] Applying the theorem on the continuity of an inverse function to justify the continuity of the functions arcsin x and arctg x. [A/08:44] O-notation (little-o symbol): functions that are infinitesimal in comparison with other functions; infinitesimal and infinitely large functions of a higher order, examples. [A/23:42] O-notation (big-O symbol): functions that are bounded compared to other functions. [A/28:57] Properties related to O-notation; additional information about O-notation. [A/39:55, B/00:00] Equivalent functions at a point: definition and properties. [B/07:24] Differentiable functions: preliminary remarks. [B/13:47] Differentiability of a function at a point: definition. [B/19:18] Derivative of a function: definition; the equivalence of differentiability at a point and the existence of a derivative at this point. [B/28:50] Continuity of the differentiable function; an example of a continuous function that is not differentiable.


    • Лекция 16. Дифференцируемые функции (Lecture 16. Differentiable functions)

      Лекция 16 состоит из двух частей (A/45:13, B/43:52) и включает русские и английские субтитры.

      Содержание лекции 16. [A/00:00] Дифференциал функции: определение. [A/12:50] Вывод формул для производных некоторых элементарных функций. [A/23:40] Арифметические теоремы о вычислении производных. [A/38:27, B/00:00] Следствия из арифметических теорем. [B/07:45] Теорема о дифференцировании суперпозиции. [B/23:01]  Следствия из теоремы о дифференцировании суперпозиции. [B/38:57] Теорема о дифференцировании обратной функции.

      Lecture 16 consists of two parts (A/45:13, B/43:52) and includes Russian and English subtitles.

      Contents of the lecture 16. [A/00:00] Differential of a function: definition. [A/12:50] Formulas for derivatives of some elementary functions. [A/23:40] Arithmetic theorems on derivatives. [A/38:27, B/00:00] Corollaries of arithmetic theorems. [B/07:45] Theorem on the differentiation of superposition. [B/23:01] Corollaries of the theorem on the differentiation of superposition. [B/38:57] Theorem on the differentiation of an inverse function.


    • Лекция 17. Дифференцируемые функции - 2 (Lecture 17. Differentiable functions - 2)

      Лекция 17 состоит из двух частей (A/39:06, B/47:35) и включает русские и английские субтитры.

      Содержание лекции 17. [A/00:00] Теорема о производной обратной функции (продолжение), [A/14:50] следствия (производные обратных тригонометрических функций). [A/28:02] Гиперболические функции и их свойства. [B/00:00] Обратные гиперболические функции и их свойства. [B/16:45] Физический и геометрический смысл производной. [B/33:16] Производные высших порядков: определение и примеры (производные высших порядков для функций sin(x), cos(x), показательной, степенной функции и логарифма).

      Lecture 17 consists of two parts (A/39:06, B/47:35) and includes Russian and English subtitles.

      Contents of the lecture 17. [A/00:00] Theorem on the differentiation of an inverse function (continuation), [A/14:50] corollaries (derivatives of the inverse trigonometric functions). [A/28:02] Hyperbolic functions and their properties. [B/00:00] Inverse hyperbolic functions and their properties. [B/16:45] The physical and geometric meaning of the derivative. [B/33:16] Derivatives of higher orders: definition and examples (derivatives of higher orders for the functions sine, cosine, exponential function, power function, and logarithm).


    • Лекция 18. Формула Лейбница. Теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа (Lecture 18. The Leibniz rule. Fermat's theorem, Rolle’s theorem, Lagrange’s theorem)

      Лекция 18 состоит из двух частей (A/52:15, B/33:59) и включает русские и английские субтитры.

      Содержание лекции 18. [A/00:00] Производные высших порядков (продолжение). [A/03:08] Число сочетаний: определение и свойства. [A/15:04] Формула Лейбница дифференцирования произведения. [A/37:04] Точки локального минимума, максимума, экстремума, точки внутреннего экстремума: определения. [A/49:35, B/00:00] Теорема Ферма. [B/13:02] Теорема Ролля. [B/24:14] Теорема Лагранжа, ее геометрический смысл.

      Lecture 18 consists of two parts (A/52:15, B/33:59) and includes Russian and English subtitles.

      Content of the lecture 18. [A/00:00] Higher-order derivatives (continuation). [A/03:08] Number of combinations: definition and properties. [A/15:04] The Leibniz rule for the differentiation of a product. [A/37:04] Points of local minimum, maximum, extremum, points of interior extremum: definitions. [A/49:35, B/00:00] Fermat's theorem. [B / 13: 02] Rolle's theorem. [B/24:14] Lagrange's theorem, its geometric sense.


    • Лекция 19. Формула Тейлора (Lecture 19. Taylor’s formula)

      Лекция 19 состоит из двух частей (A/47:16, B/38:31) и включает русские и английские субтитры.

      Содержание лекции 19. [A/00:00] Следствия из теоремы Лагранжа. [A/18:01] Теорема Коши о конечных приращениях. [A/31:02] Формула Тейлора для многочленов, [A/41:00] доказательство с ее помощью формулы бинома Ньютона. [B/00:00] Формула Тейлора для произвольных дифференцируемых функций. [B/07:55] Теорема об остаточном члене в формуле Тейлора, [B/25:40] следствия: представление остаточного члена в форме Коши и Лагранжа.

      Lecture 19 consists of two parts (A/47:16, B/38:31) and includes Russian and English subtitles.

      Contents of the lecture 19. [A/00:00] Corollaries from the Lagrange theorem. [A/18:01] Cauchy's mean value theorem. [A/31:02] Taylor's formula for polynomials, [A/41:00] deriving the binomial formula by means Taylor's formula. [B/00:00] Taylor’s formula for arbitrary differentiable functions. [B/07:55] Theorem on the remainder term of Taylor’s formula, [B/25:40] corollaries: representations of the remainder term in Cauchy form and in Lagrange form.


    • Лекция 20. Разложения функций по формуле Тейлора (Lecture 20. Function expansions by Taylor’s formula)

      Лекция 20 состоит из двух частей (A/40:21, B/45:11) и включает русские и английские субтитры.

      Содержание лекции 20. [A/00:00] Теорема об остаточном члене формулы Тейлора в форме Пеано. [A/20:31] Разложения элементарных функций по формуле Тейлора: e^x, sin(x), cos(x), sh(x), ch(x), [B/00:00] ln(1 + x), (1 + x)^a, [B/15:52] пример применения разложений для вычисления пределов. [B/21:26] Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей вида 0/0 и inf/inf (без доказательства), [B/29:54] примеры использования правила Лопиталя. [B/38:53] Необходимое условие существования локального экстремума в точке x (в терминах первой производной в точке x).

      Lecture 20 consists of two parts (A/40:21, B/45:11) and includes Russian and English subtitles.

      Contents of the lecture 20. [A/00:00] The theorem on the remainder term of Taylor’s formula in the form of Peano. [A/20:31] Expansions of elementary functions by Taylor’s formula: e^x, sin(x), cos(x), sh(x), ch(x), [B/00:00] ln(1 + x), (1 + x)^a, [B/15:52] an example of using expansions to calculate limits. [B/21:26] L'Hostital's rule for evaluating the indeterminate forms 0/0 and infinity/infinity (without proof), [B/29:54] examples of using L'Hospital's rule. [B/38:53] A necessary condition for the existence of a local extremum at the point x (in terms of the first derivative at x).


    • Лекция 21. Экстремумы функций. Выпуклые функции (Lecture 21. Extrema of functions. Convex functions)

      Лекция 21 состоит из двух частей (A/41:15, B/31:52) и включает русские и английские субтитры.

      Содержание лекции 21. [A/00:00] Пример дифференцируемой функции, производная которой не является непрерывной. [A/17:34] Достаточное условие существования локального экстремума в точке x в терминах первых производных в левой и правой окрестности точки x. [A/25:25] Достаточное условие существования локального экстремума в точке x в терминах старших производных в точке x. [B/00:00] Выпуклые функции на интервале: определения. [B/16:10] Достаточное условие выпуклости функции на интервале (в терминах второй производной на этом интервале).

      Lecture 21 consists of two parts (A/41:15, B/31:52) and includes Russian and English subtitles.

      Contents of the lecture 21. [A/00:00] An example of a differentiable function whose derivative is not continuous. [A/17:34] A sufficient condition for the existence of a local extremum at the point x in terms of the first derivatives in the left-hand and right-hand neighborhood of x. [A/25:25] A sufficient condition for the existence of a local extremum at the point x in terms of the higher-order derivatives at x. [B/00:00] Convex functions on an interval: definitions. [B/16:10] A sufficient condition for the convexity of a function on an interval (in terms of the second derivative on this interval).


    • Лекция 22. Точки перегиба (Lecture 22. Inflection points)

      Лекция 22 состоит из двух частей (A/39:44, B/20:23) и включает русские и английские субтитры.

      Содержание лекции 22. [A/00:00] Точки перегиба функции: определение. [A/07:37] Необходимое условие существования точки перегиба, примеры. [A/17:57] Достаточное условие существования точки перегиба в терминах вторых производных в левой и правой окрестности точки. [A/25:01] Достаточное условие существования точки перегиба в терминах второй и третьей производной в данной точке. [A/37:40, B/00:00] Теорема о расположении касательной в области выпуклости функции. [B/10:37] Теорема о расположении касательной в точке перегиба.

      Lecture 22 consists of two parts (A/39:44, B/20:23) and includes Russian and English subtitles.

      Contents of the lecture 22. [A/00:00] Inflection points of a function: definition. [A/07:37] A necessary condition for the existence of an inflection point, examples. [A/17:57] A sufficient condition for the existence of an inflection point in terms of second derivatives in the left-hand and right-hand neighborhood of the point. [A/25:01] A sufficient condition for the existence of an inflection point in terms of the second and third derivatives at a given point. [A/37:40, B/00:00] A theorem on the location of a tangent line in the domain of convexity of a function. [B/10:37] Theorem on the location of a tangent line at an inflection point.


    • Экзамен