Тематический план

  • Общее

    Институт математики, механики и компьютерных наук им. И. И. Воровича

    Направление "Прикладная математика и информатика"

    2017/2018 уч. г., 1 курс, 1 семестр

    Лектор к. ф.-м. н., доцент кафедры алгебры и дискретной математики М. Э. Абрамян

    • Лекция 1. Границы множеств (Lecture 1. Boundaries of sets)

      Лекция 1 состоит из двух частей (A/37:15, B/43:35) и включает русские и английские субтитры.

      Содержание лекции 1. [A/00:00] Аксиома непрерывности вещественных чисел. [A/09:55] Границы числовых множеств: определение. [A/26:54] Точные границы числовых множеств: первый вариант определения. [A/30:32] Теорема о существовании верхней (нижней) точной границы у непустого ограниченного сверху (снизу) множества. [B/00:00] Второй вариант определения точной границы. [B/13:34] Минимальные и максимальные элементы множества: определение, примеры множеств, содержащих минимальные и максимальные элементы. [B/24:36] Операции над числовыми множествами (сумма множеств и произведение множества на число): определение. [B/30:45] Теоремы о точных границах суммы множеств.

      Lecture 1 consists of two parts (A/37:15, B/43:35) and includes Russian and English subtitles.

      The content of the lecture 1. [A/00:00] Axiom of continuity of real numbers. [A/09:55] Boundaries of numerical sets: definition. [A/26:54] Exact boundaries of numerical sets: first definition. [A/30:32] Theorem on the existence of the least upper (the greatest lower) bound in a nonempty set bounded above (below). [B/00:00] The second definition of exact boundaries. [B/13:34] Maximum and minimum elements of a set: definition. [B/13:34] Operations on numerical sets (the sum of sets and the product of a set by a number): definition. [B/30:45] Theorems on the exact boundaries of the sum of sets.


    • Лекция 2. Предел последовательности (Lecture 2. Limit of a sequence)

      Лекция 2 состоит из двух частей (A/41:02, B/41:04) и включает русские и английские субтитры.

      Содержание лекции 2. [A/00:00] Единственность точных границ. [A/03:23] Теоремы о точных границах для произведения множества на число. [A/07:36] Окрестность и симметричная окрестность точки на числовой прямой: определения и свойства. [A/21:08] Последовательность: определение и примеры. [A/27:37] Как определить предел последовательности? [A/35:29, B/00:00] Определение предела последовательности на языке окрестностей. [B/01:07] Определение предела последовательности на языке симметричных окрестностей (на языке epsilon-N), доказательство равносильности двух определений. [B/20:48] Примеры нахождения пределов последовательностей. [B/32:35] Пример последовательности, не имеющей предела.

      Lecture 2 consists of two parts (A/41:02, B/41:04) and includes Russian and English subtitles.

      The content of the lecture 2. [A/00: 00] Uniqueness of exact boundaries. [A/03: 23] Theorems on the exact boundaries of the product of a set by a number. [A/07: 36] Neighborhood and symmetric neighborhood of a point on a number axis: definitions and properties. [A/21: 08] Sequence: definition and examples. [A/27: 37] How to define the limit of a sequence? [A/35: 29, B/00:00] Definition of the limit of a sequence in the language of neighborhoods. [B/01: 07] Definition of the limit of a sequence in the language of symmetric neighborhoods (in the language of epsilon-N), proof of the equivalence of the two definitions. [B/20: 48] Examples of finding limits of sequences. [B/32: 35] An example of a sequence without limit.


    • Лекция 3. Свойства предела последовательности (Lecture 3. Properties of the limit of a sequence)

      Лекция 3 состоит из двух частей (A/45:24, B/42:26) и включает русские и английские субтитры.

      Содержание лекции 3. [A/00:00] Окрестности точек (дополнение) и определение предела последовательности (повторение). [A/04:30] Теорема о единственности предела последовательности. [A/15:00] Теорема об ограниченности сходящейся последовательности. [A/27:09] Бесконечно малые последовательности: определение и арифметические свойства. [B/00:00] Критерий сходимости в терминах бесконечно малой последовательности. [B/13:57] Арифметические теоремы о пределах последовательностей: предел суммы, [B/25:13] предел произведения, [B/31:13] предел частного.

      Lecture 3 consists of two parts (A/45:24, B/42:26) and includes Russian and English subtitles.

      Contents of the lecture 3. [A/00:00] Neighborhoods of points (supplement) and definition of the limit of a sequence (repetition). [A/04:30] The uniqueness theorem for the limit of a sequence. [A/15:00] A theorem on the boundedness of a convergent sequence. [A/27:09] Infinitesimal sequences: definition and arithmetic properties. [B/00:00] A criterion for convergence in terms of an infinitesimal. [B/13:57] Arithmetic theorems on the limits of sequences: the limit of the sum, [B/25:13] the limit of the product, [B/31:13] the limit of the quotient.

    • Лекция 4. Бесконечные пределы (Lecture 4. Infinite limits)

      Лекция 4 состоит из двух частей (A/36:18, B/35:08) и включает русские и английские субтитры.

      Содержание лекции 4. [A/00:00] Теоремы о переходе к пределу в неравенствах для последовательностей: первая теорема, [A/13:32] вторая теорема. [A/26:22] Окрестности бесконечно удаленной точки. [A/31:21, B/00:00] Бесконечно большая последовательность: определение, [B/11:24] теорема о единственности предела бесконечно большой последовательности, [B/19:58] арифметические свойства  бесконечно больших последовательностей.

      Lecture 4 consists of two parts (A/36:18, B/35:08) and includes Russian and English subtitles.

      Contents of the lecture 4. [A/00:00] Passing to the limit theorem in inequalities for sequences: the first theorem, [A/13:32] the second theorem. [A/26:22] Neighborhood of an infinitely distant point. [A/31:21, B/00:00] Infinitely large sequence: definition, [B/11:24] the uniqueness theorem for the limit of an infinitely large sequence, [B/19:58] arithmetic properties of infinitely large sequences.

    • Лекция 5. Монотонные последовательности (Lecture 5. Monotone sequences)

      Лекция 5 состоит из двух частей (A/38:22, B/40:22) и включает русские и английские субтитры.

      Содержание лекции 5. [A/00:00] Монотонные последовательности: определения. [A/08:57] Теорема о существовании предела для монотонных ограниченных последовательностей. [A/24:47] Следствие: критерий сходимости для монотонной последовательности. [A/29:39, B/00:00] Примеры применения теоремы - нахождение пределов различных последовательностей: 1/q^n, [B/02:36] n/q^n, [B/14:30] n^(1/n), a^(1/n), q^n/n!. [B/26:56] Предел последовательности (1+1/n)^n и неравенство Бернулли.

      Lecture 5 consists of two parts (A/38:22, B/40:22) and includes Russian and English subtitles.

      Contents of the lecture 5. [A/00:00] Monotone sequences: definitions. [A/08:57] A test of convergence  for monotone bounded sequences. [A/24:47] Corollary: a convergence criterion for a monotone sequence. [A/29:39, B/00:00] Examples of the application of the theorem: finding the limits of various sequences: 1/q^n, [B/02:36] n/q^n, [B/14:30] n^(1/n), a^(1/n), q^n/n!. [B/26:56] The limit of the sequence (1+1/n)^n and Bernoulli’s inequality.


    • Лекция 6. Подпоследовательности (Lecture 6. Subsequences)

      Лекция 6 состоит из двух частей (A/40:53, B/43:22) и включает русские и английские субтитры.

      Содержание лекции 6. [A/00:00] Предел последовательности (1+1/n)^n (продолжение). [A/11:32] Возрастание последовательности (1+1/n)^n. [A/20:12] Последовательность вложенных и последовательность стягивающихся сегментов: определения и примеры. [A/27:23] Теорема о вложенных сегментах. [B/00:00] Предельные точки множества: два определения, доказательство их равносильности. [B/09:53] Теорема о предельной точке (Больцано-Коши). [B/26:23] Подпоследовательности: определение и примеры. [B/31:55] Теорема о подпоследовательностях сходящейся последовательности.

      Lecture 6 consists of two parts (A/40:53, B/43:22) and includes Russian and English subtitles.

      The content of the lecture 6. [A/00:00] The limit of the sequence (1+1/n)^n (continuation). [A/11:32] Increasing of sequence (1+1/n)^n. [A/20:12] Sequence of nested segments and sequence of contracting segments: definitions and examples. [A/27:23] Nested segment theorem. [B/00:00] Limit points of a set: two definitions, proof of their equivalence. [B/09:53] The limit point theorem (Bolzano-Cauchy). [B/26:23] Subsequences: definition and examples. [B/31:55] The theorem on subsequence of a convergent sequence.



    • Лекция 7. Фундаментальные последовательности (Lecture 7. Fundamental sequences)

      Лекция 7 состоит из двух частей (A/39:31, B/46:20) и включает русские и английские субтитры.

      Содержание лекции 7. [A/00:00] Теорема Больцано-Вейерштрасса о сходящейся подпоследовательности. [A/15:54] Следствие из теоремы Больцано-Вейерштрасса.

      [A/24:51] Пример неограниченной последовательности, не имеющей предела. [A/29:46] Фундаментальные последовательности: определение. [A/34:11, B/00:00] Критерий Коши сходимости последовательности. [B/26:41] Определение предела функции на языке окрестностей и на языке симметричных окрестностей (на языке epsilon-delta).

      Lecture 7 consists of two parts (A/39:31, B/46:20) and includes Russian and English subtitles.

      Contents of the lecture 7. [A/00:00] The Bolzano-Weierstrass theorem on a convergent subsequence. [A/15:54] Corollary of the Bolzano-Weierstrass theorem. [A/24:51] An example of an unbounded sequence with no limit. [A/29:46] Fundamental sequences: definition. [A/34:11, B/00:00] The Cauchy criterion for the convergence of a sequence. [B/26:41] Definition of the limit of a function in the language of neighborhoods and in the language of symmetric neighborhoods (in epsilon-delta language).


    • Лекция 8. Предел функции (Lecture 8. The limit of a function)

      Лекция 8 состоит из двух частей (A/28:06, B/42:14) и включает русские и английские субтитры.

      Содержание лекции 8. [A/00:00] Теорема о единственности предела функции. [A/12:21] Критерий существования предела функции в терминах последовательностей, [A/16:10] доказательство необходимости, [B/00:00] доказательство достаточности. [B/13:41] Примеры функций, имеющих и не имеющих пределы. [B/33:52] Пределы в бесконечно удаленных точках и бесконечные пределы.

      Lecture 8 consists of two parts (A/28:06, B/42:14) and includes Russian and English subtitles.

      Contents of the lecture 8. [A/00:00] The uniqueness theorem for the limit of a function. [A/12:21] Criterion for the existence of a function limit in terms of sequences, [A/16:10] proof of necessity, [B/00:00] proof of sufficiency. [B/13:41] Examples of functions with and without limits. [B/33:52] Limits at infinitely distant points and infinite limits.


    • Лекция 9. Свойства предела функции (Lecture 9. Properties of the limit of a function)

      Лекция 9 состоит из двух частей (A/34:59, B/32:58) и включает русские и английские субтитры.

      Содержание лекции 9. [A/00:00] Предел функции и арифметические операции. [A/19:33] Переход к пределу в неравенствах для функций. [B/00:00] Теорема о пределе суперпозиции функций, [B/23:05] пример к теореме о пределе суперпозиции.

      Lecture 9 consists of two parts (A/34:59, B/32:58) and includes Russian and English subtitles.

      Contents of the lecture 9. [A/00:00] Limit of a function limit and arithmetic operations. [A/19:33] Passing to the limit in inequalities for functions. [B/00:00] The theorem on the limit of superposition of functions, [B/23:05] example to the theorem on the limit of superposition.


    • Лекция 10. Односторонние пределы (Lecture 10. One-sided limits)

      Лекция 10 состоит из двух частей (A/42:22, B/38:18) и включает русские и английские субтитры.

      Содержание лекции 10. [A/00:00] Односторонние пределы функций: определение. [A/07:32] Критерий существования предела функции в терминах односторонних пределов. [A/22:22] Вычисление некоторых пределов функций: первый замечательный предел, [B/00:00] второй замечательный предел и связанные с ним эквивалентности. [B/25:30] Монотонные функции, ограниченные функции: определения. [B/35:43] Теорема о пределе монотонной ограниченной функции.

      Lecture 10 consists of two parts (A/42:22, B/38:18) and includes Russian and English subtitles.

      Contents of the lecture 10. [A/00:00] One-sided limits of function: definition. [A/07:32] A criterion for the existence of the limit of a function in terms of one-sided limits. [A/22:22] Calculation of some function limits: the first remarkable limit, [B/00:00] the second remarkable limit and related equivalences. [B/25:30] Monotone functions, bounded functions: definitions. [B/35:43] The theorem on the limit of a monotone bounded function.


    • Лекция 11. Непрерывность функции в точке (Lecture 11. Continuity of function at a point)

      Лекция 11 состоит из двух частей (A/38:32, B/45:37) и включает русские и английские субтитры.

      Содержание лекции 11. [A/00:00] Теорема о пределе монотонной ограниченной функции (продолжение). [A/16:34] Критерий Коши существования предела функции: формулировка, доказательство необходимости, [A/26:13, B/00:00] доказательство достаточности. [B/12:04] Определение непрерывной функции в точке, [B/21:31] примеры непрерывных функций. [B/31:26] Простейшие свойства непрерывных функций: отличие от нуля и сохранение знака в окрестности точки, в которой непрерывная функция отлична от нуля. [B/39:35] Арифметические свойства непрерывных функций.

      Lecture 11 consists of two parts (A/38:32, B/45:37) and includes Russian and English subtitles.

      Contents of the lecture 11. [A/00:00] Theorem on the limit of a monotone bounded function (continuation). [A/16:34] Cauchy criterion for the existence of a function limit: formulation, proof of necessity, [A/26:13, B/00:00] proof of sufficiency. [B/12:04] Definition of a continuous function at a point, [B/21:31] examples of continuous functions. [B/31:26] The simplest properties of continuous functions: difference from zero and preservation of the sign in the neighborhood of the point at which the continuous function is non-zero. [B/39:35] Arithmetic properties of continuous functions.


    • Лекция 12. Непрерывность функции на отрезке (Lecture 12. Continuity of function on a segment)

      Лекция 12 состоит из двух частей (A/40:53, B/41:37) и включает русские и английские субтитры.

      Содержание лекции 12. [A/00:00] Теорема о пределе суперпозиции в случае, когда внешняя функция непрерывна, [A/17:50] следствие о непрерывности суперпозиции непрерывных функций. [A/23:19, B/00:00] Доказательство некоторых эквивалентностей. [B/08:27] Функция, непрерывная на множестве: определение. [B/11:17] Теорема о промежуточном значении, [B/30:39] следствие. [B/37:39] Теоремы Вейерштрасса о функциях, непрерывных на отрезке.

      Lecture 12 consists of two parts (A/40:53, B/41:37) and includes Russian and English subtitles.

      Contents of the lecture 12. [A/00:00] Theorem on the limit of superposition in the case when the external function is continuous, [A/17:50] corollary (the continuity of the superposition of continuous functions). [A/23:19, B/00:00] Proof of some equivalences. [B/08:27] A function continuous on a set: definition. [B/11:17] Intermediate value theorem, [B/30:39] corollary. [B/37:39] Weierstrass theorems on functions continuous on a segment.


    • Лекция 13. Равномерная непрерывность (Lecture 13. Uniform continuity)

      Лекция 13 состоит из двух частей (A/33:22, B/29:36) и включает русские и английские субтитры.

      Содержание лекции 13. [A/00:00] Первая теорема Вейерштрасса (об ограниченности функции, непрерывной на сегменте). [A/14:57, B/00:00] Вторая теорема Вейерштрасса (о существовании минимального и максимального значения функции, непрерывной на сегменте). [B/07:09] Функция, равномерно непрерывная на множестве X: определение, непрерывность равномерно непрерывной функции. [B/15:54] Пример функции, не являющейся равномерно непрерывной: sin(1/x) на (0, 1]. [B/25:35] Теорема Кантора о равномерной непрерывности функции, непрерывной на сегменте.

      Lecture 13 consists of two parts (A/33:22, B/29:36) and includes Russian and English subtitles.

      The content of the lecture 13. [A/00:00] The first Weierstrass theorem (on the boundedness of a function continuous on a segment). [A/14:57, B/00:00] The second Weierstrass theorem (on the existence of a minimum and maximum value of a function continuous on a segment). [B/07:09] A function uniformly continuous on a set X: definition, continuity of a uniformly continuous function. [B/15:54] An example of a function that is not uniformly continuous: sin(1/x) on (0, 1]. [B/25:35] Cantor's theorem on the uniform continuity of a function continuous on a segment.


    • Лекция 14. Точки разрыва (Lecture 14. Points of discontinuity)

      Лекция 14 состоит из двух частей (A/42:22, B/42:36) и включает русские и английские субтитры.

      Содержание лекции 14. [A/00:00] Теорема Кантора о равномерной непрерывности функции, непрерывной на сегменте (продолжение). [A/19:57] Точки разрыва функции, их классификация и примеры. [A/39:11, B/00:00] Теорема о точках разрыва монотонной функции, [B/13:33] следствие. [B/20:40] Критерий непрерывности монотонной функции f, определенной на сегменте [a,b], в терминах ее множества значений f([a,b]). [B/33:47] Теорема о непрерывности обратной функции.

      Lecture 14 consists of two parts (A/42:22, B/42:36) and includes Russian and English subtitles.

      Contents of the lecture 14. [A/00:00] Cantor's theorem on the uniform continuity of a function continuous on a segment (continuation). [A/19:57] Points of discontinuity of a function, their classification and examples. [A/39:11, B/00:00] Theorem on the points of discontinuity of a monotone function, [B/13:33] corollary. [B/20:40] A criterion for the continuity of the monotone function f defined on the segment [a, b], in terms of its image f([a, b]). [B/33:47] Theorem on the continuity of inverse function.


    • Лекция 15. О-символика (Lecture 15. O-notation)

      Лекция 15 состоит из двух частей (A/45:23, B/37:58) и включает русские и английские субтитры.

      Содержание лекции 15. [A/00:00] Использование теоремы о непрерывности обратной функции для обоснования непрерывности функций arcsin x и arctg x. [A/08:44] O-символика (символ о-малое): функции, бесконечно малые по сравнению с другими функциями; бесконечно малые и бесконечно большие функции более высокого порядка, примеры. [A/23:42] O-символика (символ О-большое): функции, ограниченные по сравнению с другими функциями. [A/28:57] Свойства, связанные с O-символикой; дополнительные сведения об O-символике. [A/39:55, B/00:00] Функции, эквивалентные в точке: определение и свойства. [B/07:24] Дифференцируемые функции: предварительные замечания. [B/13:47] Дифференцируемость функции в точке: определение. [B/19:18] Производная функции: определение; эквивалентность дифференцируемости в точке и существования в этой точке производной. [B/28:50] Непрерывность дифференцируемой функции; пример непрерывной функции, не являющейся дифференцируемой.

      Lecture 15 consists of two parts (A/45:23, B/37:58) and includes Russian and English subtitles.

      Contents of the lecture 15. [A/00:00] Applying the theorem on the continuity of an inverse function to justify the continuity of the functions arcsin x and arctg x. [A/08:44] O-notation (little-o symbol): functions that are infinitesimal in comparison with other functions; infinitesimal and infinitely large functions of a higher order, examples. [A/23:42] O-notation (big-O symbol): functions that are bounded compared to other functions. [A/28:57] Properties related to O-notation; additional information about O-notation. [A/39:55, B/00:00] Equivalent functions at a point: definition and properties. [B/07:24] Differentiable functions: preliminary remarks. [B/13:47] Differentiability of a function at a point: definition. [B/19:18] Derivative of a function: definition; the equivalence of differentiability at a point and the existence of a derivative at this point. [B/28:50] Continuity of the differentiable function; an example of a continuous function that is not differentiable.


    • Лекция 16. Дифференцируемые функции (Lecture 16. Differentiable functions)

      Лекция 16 состоит из двух частей (A/45:13, B/43:52) и включает русские и английские субтитры.

      Содержание лекции 16. [A/00:00] Дифференциал функции: определение. [A/12:50] Вывод формул для производных некоторых элементарных функций. [A/23:40] Арифметические теоремы о вычислении производных. [A/38:27, B/00:00] Следствия из арифметических теорем. [B/07:45] Теорема о дифференцировании суперпозиции. [B/23:01]  Следствия из теоремы о дифференцировании суперпозиции. [B/38:57] Теорема о дифференцировании обратной функции.

      Lecture 16 consists of two parts (A/45:13, B/43:52) and includes Russian and English subtitles.

      Contents of the lecture 16. [A/00:00] Differential of a function: definition. [A/12:50] Formulas for derivatives of some elementary functions. [A/23:40] Arithmetic theorems on derivatives. [A/38:27, B/00:00] Corollaries of arithmetic theorems. [B/07:45] Theorem on the differentiation of superposition. [B/23:01] Corollaries of the theorem on the differentiation of superposition. [B/38:57] Theorem on the differentiation of an inverse function.


    • Лекция 17. Дифференцируемые функции - 2

      Содержание лекции 17. Теорема о производной обратной функции, следствия. Гиперболические функции: определение и свойства. Обратные гиперболические функции. Производные гиперболических и обратных гиперболических функций. Производные высших порядков: определение и примеры (производные высших порядков для функций sin(x), cos(x), показательной, степенной функции и логарифма).

    • Лекция 18. Формула Лейбница. Теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа

      Содержание лекции 18. Число сочетаний: определение и свойства. Формула Лейбница дифференцирования произведения. Точки локального минимума, максимума, экстремума, точки внутреннего экстремума: определения. Теорема Ферма. Теорема Ролля. Теорема Лагранжа, ее геометрический смысл.

    • Лекция 19. Формула Тейлора

      Содержание лекции 19. Теорема Коши о конечных приращениях. Формула Тейлора для полиномов, доказательство с ее помощью формулы бинома Ньютона. Формула Тейлора для произвольной дифференцируемой функции. Теорема об остаточном члене в формуле Тейлора, следствия (представление остаточного члена в форме Лагранжа и Коши).

    • Лекция 20. Разложения функций по формуле Тейлора

      Содержание лекции 20. Теорема об остаточном члене формулы Тейлора в форме Пеано. Разложения по формуле Тейлора в окрестности нуля функций e^x, sin(x), cos(x), sh(x), ch(x), ln(1 + x), (1 + x)^a, пример их применения для вычисления пределов. Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей вида 0/0 и inf/inf, примеры его использования. Необходимое условие существования экстремума в точке x (в терминах первой производной в точке x).

    • Лекция 21. Экстремумы функций. Выпуклые функции

      Содержание лекции 21. Достаточное условие существования экстремума в точке x (в терминах первых производных в левой и правой окрестности точки x). Достаточное условие существования экстремума в точке x (в терминах старших производных в точке x). Выпуклые функции на интервале: определение. Достаточное условие выпуклости функции на интервале (в терминах второй производной на этом интервале).


    • Лекция 22. Точки перегиба. Правило Лопиталя

      Содержание лекции 22. Точка перегиба функции: определение. Необходимое условие существования точки перегиба. Достаточное условие существования точки перегиба (в терминах вторых производных в левой и правой окрестности точки). Достаточное условие существования точки перегиба (в терминах второй и третьей производной в данной точке). Теоремы о расположении графика функции относительно касательной. Доказательство правила Лопиталя для правостороннего предела в случае неопределенности 0/0.