Тематический план

  • Общее

    Институт математики, механики и компьютерных наук им. И. И. Воровича

    Направление "Прикладная математика и информатика"

    2015/2016 уч. г., 1 курс, 1 семестр

    Лектор к. ф.-м. н., доцент кафедры алгебры и дискретной математики М. Э. Абрамян

    • Лекция 1. Границы множеств

      Содержание лекции 1. Аксиома непрерывности вещественных чисел. Границы и грани (точные границы) числовых множеств: определение, теорема о существовании верхней (нижней) грани у непустого ограниченного сверху (снизу) множества. Максимальные и минимальные элементы множества: определение. Сумма множеств и произведение множества на число: определение, теоремы о гранях суммы множеств и произведения множества на число.

    • Лекция 2. Предел последовательности

      Содержание лекции 2. Окрестность и симметричная окрестность точки на числовой прямой: определения и свойства. Последовательность: определение и примеры. Определение предела последовательности на языке окрестностей и на языке симметричных окрестностей (на языке epsilon–N), доказательство их равносильности. Примеры нахождения пределов последовательностей. Пример последовательности, не имеющей предела.

    • Лекция 3. Свойства предела последовательности

      Содержание лекции 3. Теорема о единственности предела последовательности. Теорема об ограниченности сходящейся последовательности. Бесконечно малая последовательность: определение и арифметические свойства. Признак сходимости в терминах бесконечно малой последовательности. Арифметические теоремы о пределах последовательностей.

    • Лекция 4. Бесконечные пределы

      Содержание лекции 4. Теоремы о переходе к пределу в неравенствах для последовательностей. Окрестность бесконечно удаленной точки. Бесконечно большая последовательность: определение, теорема о единственности предела бесконечно большой последовательности, арифметические теоремы о пределах бесконечно больших последовательностей.

    • Лекция 5. Монотонные последовательности

      Содержание лекции 5. Монотонные последовательности: определения. Теорема о существовании предела для монотонных ограниченных последовательностей, примеры применения теоремы - нахождение пределов различных последовательностей, в том числе последовательности (1+1/n)^n.

    • Лекция 6. Подпоследовательности

      Содержание лекции 6. Последовательность вложенных и последовательность стягивающихся сегментов: определения. Теорема о вложенных сегментах. Предельная точка множества: два определения, доказательство их равносильности. Теорема о предельной точке (Больцано-Коши). Подпоследовательность: определение и примеры. Теорема о сходимости подпоследовательностей сходящейся последовательности.

    • Лекция 7. Фундаментальные последовательности

      Содержание лекции 7. Теорема Больцано-Вейерштрасса о сходящейся подпоследовательности, следствие. Фундаментальная последовательность: определение. Критерий Коши сходимости последовательности. Определение предела функции на языке окрестностей, определение предела функции на языке симметричных окрестностей (на языке epsilon-delta).

    • Коллоквиум

    • Лекция 8. Предел функции

      Содержание лекции 8. Теорема о единственности предела функции. Критерий существования предела функции в терминах пределов последовательностей. Примеры функций, имеющих и не имеющих предел. Пределы функции в бесконечно удаленных точках и бесконечные пределы: определения.

    • Лекция 9. Свойства предела функции

      Содержание лекции 9. Предел функции и арифметические операции. Теорема о переходе к пределу в неравенствах для функций. Теорема о пределе суперпозиции функций, пример.

    • Лекция 10. Односторонние пределы

      Содержание лекции 10. Односторонние пределы: определение. Критерий существования предела функции в терминах односторонних пределов. Вычисление некоторых пределов функций (первый и второй замечательные пределы). Монотонные функции, ограниченные функции: определения. Теоремы о существовании пределов у монотонных ограниченных функций.

    • Лекция 11. Непрерывность функции в точке

      Содержание лекции 11. Теоремы о существовании пределов у монотонных ограниченных функций (продолжение). Критерий Коши существования предела функции. Определение непрерывной функции в точке, примеры непрерывных функций. Свойства непрерывных функций: отличие от нуля и сохранение знака в окрестности точки, в которой непрерывная функция отлична от нуля; арифметические свойства непрерывных функций.

    • Лекция 12. Непрерывность функции на отрезке

      Содержание лекции 12. Теорема о пределе суперпозиции в случае, когда внешняя функция непрерывна, следствие о непрерывности суперпозиции непрерывных функций. Функция, непрерывная на множестве: определение. Теорема о промежуточном значении, следствие.

    • Лекция 13. Равномерная непрерывность

      Содержание лекции 13. Теорема Вейерштрасса 1 (об ограниченности функции, непрерывной на сегменте). Теорема Вейерштрасса 2 (о существовании минимального и максимального значения функции, непрерывной на сегменте). Функция, равномерно непрерывная на множестве X: определение, непрерывность равномерно непрерывной функции. Пример функции, не являющейся равномерно непрерывной: sin(1/x) на (0, 1].

    • Лекция 14. Точки разрыва

      Содержание лекции 14. Теорема Кантора о равномерной непрерывности функции, непрерывной на сегменте. Точки разрыва функции, их классификация и примеры. Теорема о точках разрыва монотонной функции, следствие. Критерий непрерывности монотонной функции f, определенной на сегменте [a,b], в терминах ее множества значений f([a,b]). Теорема о непрерывности обратной функции.

    • Лекция 15. О-символика

      Содержание лекции 15. Использование теоремы о непрерывности обратной функции для обоснования непрерывности функций arcsin x и arctg x. Функции, бесконечно малые по сравнению с другими функциями (o-символика). Бесконечно малые и бесконечно большие функции более высокого порядка, примеры. Функции, ограниченные по сравнению с другими функциями (O-символика). Функции, эквивалентные в точке: определение и свойства. Дифференцируемость функции в точке и производная функции: определения. Эквивалентность дифференцируемости в точке и существования в этой точке производной. Непрерывность дифференцируемой функции.

    • Лекция 16. Дифференцируемые функции

      Содержание лекции 16. Дифференциал: определение. Вычисление производных некоторых элементарных функций. Арифметические теоремы о вычислении производных, следствия. Теорема о производной суперпозиции, следствия.

    • Лекция 17. Дифференцируемые функции - 2

      Содержание лекции 17. Теорема о производной обратной функции, следствия. Гиперболические функции: определение и свойства. Обратные гиперболические функции. Производные гиперболических и обратных гиперболических функций. Производные высших порядков: определение и примеры (производные высших порядков для функций sin(x), cos(x), показательной, степенной функции и логарифма).

    • Лекция 18. Формула Лейбница. Теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа

      Содержание лекции 18. Число сочетаний: определение и свойства. Формула Лейбница дифференцирования произведения. Точки локального минимума, максимума, экстремума, точки внутреннего экстремума: определения. Теорема Ферма. Теорема Ролля. Теорема Лагранжа, ее геометрический смысл.

    • Лекция 19. Формула Тейлора

      Содержание лекции 19. Теорема Коши о конечных приращениях. Формула Тейлора для полиномов, доказательство с ее помощью формулы бинома Ньютона. Формула Тейлора для произвольной дифференцируемой функции. Теорема об остаточном члене в формуле Тейлора, следствия (представление остаточного члена в форме Лагранжа и Коши).

    • Лекция 20. Разложения функций по формуле Тейлора

      Содержание лекции 20. Теорема об остаточном члене формулы Тейлора в форме Пеано. Разложения по формуле Тейлора в окрестности нуля функций e^x, sin(x), cos(x), sh(x), ch(x), ln(1 + x), (1 + x)^a, пример их применения для вычисления пределов. Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей вида 0/0 и inf/inf, примеры его использования. Необходимое условие существования экстремума в точке x (в терминах первой производной в точке x).

    • Лекция 21. Экстремумы функций. Выпуклые функции

      Содержание лекции 21. Достаточное условие существования экстремума в точке x (в терминах первых производных в левой и правой окрестности точки x). Достаточное условие существования экстремума в точке x (в терминах старших производных в точке x). Выпуклые функции на интервале: определение. Достаточное условие выпуклости функции на интервале (в терминах второй производной на этом интервале).


    • Лекция 22. Точки перегиба. Правило Лопиталя

      Содержание лекции 22. Точка перегиба функции: определение. Необходимое условие существования точки перегиба. Достаточное условие существования точки перегиба (в терминах вторых производных в левой и правой окрестности точки). Достаточное условие существования точки перегиба (в терминах второй и третьей производной в данной точке). Теоремы о расположении графика функции относительно касательной. Доказательство правила Лопиталя для правостороннего предела в случае неопределенности 0/0.

    • Экзамен