Общее
Институт математики, механики и компьютерных наук им. И. И. Воровича
Направление "Фундаментальная информатика и информационные технологии"
1 курс, 1 семестр
Лектор к. ф.-м. н., доцент кафедры ИВЭ А.В. Абрамян
Институт математики, механики и компьютерных наук им. И. И. Воровича
Направление "Фундаментальная информатика и информационные технологии"
1 курс, 1 семестр
Лектор к. ф.-м. н., доцент кафедры ИВЭ А.В. Абрамян
Содержание лекции 1. Функция "модуль" и ее свойства. Функции "сигнум", "пол" и "потолок". Промежутки. Аксиома полноты. Ограниченные множества Свойства ограниченных множеств. Максимальный и минимальный элемент. Единственность максимального и минимального элемента. Верхняя и нижняя грань множества. Точная верхняя и точная нижняя грань множества.
Вводная лекция. Часть 1
Вводная лекция. Часть 2
Содержание лекции 2. Определение последовательности. Предел последовательности Сходящиеся последовательности. Теорема о единственности предела последовательности. Теорема об ограниченности сходящейся последовательности. Теорема о пределе суммы, разности и произведения последовательностей. Следствие.
Содержание лекции 4. Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности. Монотонные последовательности. Критерий сходимости возрастающей последовательности. Следствия. Приложения теоремы о пределе монотонной последовательности (шесть примеров). Число е.
Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности. Монотонные
последовательности. Критерий сходимости возрастающей последовательности.
Следствия 1-3.
Следствие 4. Приложения теоремы о пределе монотонной последовательности (шесть примеров).
Содержание лекции 5. Подпоследовательность. Теорема о пределе подпоследовательности. Частичный предел. Лемма Больцано-Вейерштрасса. Критерий Коши сходимости последовательности. Пример применения критерия Коши (расходимость гармонической последовательности)..
Подпоследовательность. Теорема о пределе подпоследовательности. Частичный предел. Лемма Больцано-Вейерштрасса.
Критерий Коши сходимости последовательности. Пример применения критерия Коши (расходимость гармонической последовательности).
Ограниченные функции. Точная верхняя и точная нижняя грань функции. Максимум м минимум функции. Окрестность и выколотая окрестность точки. Свойства выколотых окрестностей.
Предел функции в точке. Теорема о единственности предела. Односторонний предел. Теорема о связи предела функции и односторонних пределов (критерий).
Содержание лекции 7. Локальные свойства функции, имеющей предел. Арифметические операции с пределами.
Локальные свойства функции, имеющей предел. Арифметические операции с пределами: предел суммы и разности функций.
Арифметические операции с пределами: предел произведения и частного функций
Содержание лекции 8. Свойства пределов, связанные с неравенствами. Монотонные функции. теорема об односторонних пределах монотонной функции на промежутке. Следствия. Первый замечательный предел. Второй замечательный предел. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Свойства бесконечно малых и бесконечно больших функций.
Три свойства пределов, связанные с неравенствами:
Определение монотонной и строго монотонной функции. Теорема о существовании односторонних пределов монотонной функции.
Три следствия к теореме о существовании односторонних пределов монотонной функции.
Содержание лекции 9.
Критерий Коши существования предела функции.Пример применения Критерия Коши.
Определение непрерывности в точке. Односторонняя непрерывность в точке.
Непрерывность и односторонняя непрерывность на промежутке.Примеры
непрерывных функций.
Свойства функций, непрерывных в точке:
1) Локальные свойства функций, непрерывных в точке.
2) Арифметические операции с непрерывными функциями.
3) Непрерывность сложной функции.
Содержание лекции 10. Теорема Вейерштрасса. Следствие об отделении функции от нуля. Замечание.
Пример непрерывной, но не ограниченной на интервале функции. Первая теорема о промежуточном значении. Вторая теорема о промежуточном значении. Следствия.
Теорема Вейерштрасса. Следствие об отделении функции от нуля. Замечание. Пример непрерывной, но не ограниченной на интервале функции.
Вторая теорема о промежуточном значении. Следствие 1. Следствие 2.
Следствие 3.
Содержание лекции 11. Равномерно непрерывные функции. Критерий Коши существования предела функции. Пример применения критерия Коши. Сравнение функций: Определение производной. Примеры вычисления производных. Теорема о связи дифференцируемости и непрерывности.
Определение равномерной непрерывности. Критерий Коши существования предела функции. Пример применения критерия Коши.
Сравнение функций:
Определение производной. Примеры вычисления производных. Теорема о связи дифференцируемости и непрерывности.
Содержание лекции 12. Односторонние производные. Критерий существования производной в терминах
односторонних производных. Определение дифференцируемости. Правила дифференцирования. Примеры вычисления производных. Производная неявной функции. Примеры вычисления производной неявной функции.
Односторонние производные. Критерий существования производной в терминах односторонних производных. Определение дифференцируемости функции в точке. Критерий дифференцируемости функции в точке. Следствие. Замечание. Примеры приближенного вычисления значения функции с использованием ее дифференцируемости. Односторонняя дифференцируемость в точке. Дифференцируемость функции на промежутке.
Правила дифференцирования:
Производные высших порядков. Примеры вычисления производных \( n \)-го порядка:
Содержание лекции 14. Основные теоремы дифференциального исчисления: теорема Ферма, теорема Ролля, теорема Лагранжа, теорема Коши.
Теорема Ферма. Определение (строгого) локального экстремума. Альтернативная формулировка теоремы Ферма.
Теорема Ролля
Теорема Лагранжа. Следствие (формула конечных приращений Лагранжа).
Теорема Коши. Замечание о невозможности доказательства теоремы Коши через теорему Лагранжа. Примеры, иллюстрирующие замечание.
Содержание лекции 15. Правило Лопиталя. Вычисление пределов с использованием правила Лопиталя:
Правило Лопиталя:
Вычисление пределов с использованием правила Лопиталя:
Содержание лекции 16. Формула Тейлора для многочлена. Формула Тейлора для произвольной функции. Остаточный член в форме Пеано и в форме Лагранжа. Единственность разложения функции по формуле Тейлора с остаточным членом в форме Пеано.
Лемма о существовании и единственности разложения многочлена по степеням линейного двучлена. Формула Тейлора для многочлена.
Основные определения: многочлен Тейлора, остаточный член. Замечание о равенстве остаточного члена нулю при x=a. Лемма о дифференцировании многочлена Тейлора и остаточного члена.
Остаточный член в форме Пеано. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано.
Остаточный член в форме Лагранжа. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа.
Следствие к теореме об остаточном члене в форме Лагранжа. Теорема о единственности разложения функции по формуле Тейлора с остаточным членом в форме Пеано.
Содержание лекции 17. Вычисление пределов по определению. Вычисление пределов от рациональных и иррациональных функций. Вычисление пределов с использованием основных эквивалентностей.
Содержание лекции 18. Примеры разложения функций по формуле Тейлора.
Содержание лекции 19. Применение разложения функций по формуле Тейлора для вычисления пределов.