Тематический план

  • Общее

    Институт математики, механики и компьютерных наук им. И. И. Воровича

    Направление "Фундаментальная информатика и информационные технологии"

    1 курс, 1 семестр

    Лектор к. ф.-м. н., доцент кафедры ИВЭ  А.В. Абрамян


    • Лекция 1. Введение

      Содержание лекции 1. Функция "модуль" и ее свойства. Функции "сигнум", "пол" и "потолок". Промежутки. Аксиома полноты. Ограниченные множества  Свойства ограниченных множеств. Максимальный и минимальный элемент. Единственность максимального и минимального элемента. Верхняя и нижняя грань множества. Точная верхняя и точная нижняя грань множества.

    • Лекция 2. Предел последовательности

      Содержание лекции 2. Определение последовательности. Предел последовательности  Сходящиеся последовательности. Теорема о единственности предела последовательности. Теорема об ограниченности сходящейся последовательности. Теорема о пределе суммы, разности и произведения последовательностей. Следствие.

    • Лекция 3. Предел последовательности

      Содержание лекции 3. Свойства последовательностей, связанные с неравенствами. Теорема о трех последовательностях. Теорема о пределе частного двух последовательностей.  Примеры. Лемма о вложенных отрезках.

    • Лекция 4. Предел последовательности

      Содержание лекции 4. Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности. Монотонные последовательности. Критерий сходимости возрастающей последовательности. Следствия. Приложения теоремы о пределе монотонной последовательности (шесть примеров). Число е.

    • Лекция 5. Предел последовательности

      Содержание лекции 5. Подпоследовательность. Теорема о пределе подпоследовательности. Частичный предел. Лемма Больцано-Вейерштрасса. Критерий Коши сходимости последовательности. Пример применения критерия Коши (расходимость гармонической последовательности)..

    • Лекция 6. Предел функции

      Содержание лекции 6. Ограниченные функции. Точная верхняя и точная нижняя грань функции. Максимум м минимум функции. Окрестность и выколотая окрестность точки. Свойства выколотых окрестностей. Предел функции в точке. Теорема о единственности предела. Односторонний предел. Теорема о связи предела функции и односторонних пределов (критерий)
      • Предел функции. Часть 1 Гиперссылка

        Ограниченные функции. Точная верхняя и точная нижняя грань функции. Максимум м минимум функции. Окрестность и выколотая окрестность точки. Свойства выколотых окрестностей.

      • Предел функции. Часть 2 Гиперссылка

        Предел функции в точке. Теорема о единственности предела. Односторонний предел. Теорема о связи предела функции и односторонних пределов (критерий).

    • Лекция 7. Свойства пределов

      Содержание лекции 7. Локальные свойства функции, имеющей предел. Арифметические операции с пределами.

    • Лекция 8. Свойства пределов

      Содержание лекции 8. Свойства пределов, связанные с неравенствами. Монотонные функции. теорема об односторонних пределах монотонной функции на промежутке. Следствия. Первый замечательный предел. Второй замечательный предел. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Свойства бесконечно малых и бесконечно больших функций.

    • Лекция 9. Предел функции. Непрерывные функции

      Содержание лекции 9.

      • Критерий Коши существования предела функции.Пример применения Критерия Коши.
      • Определение непрерывности в точке. Односторонняя непрерывность в точке. Непрерывность и односторонняя непрерывность на промежутке.Примеры непрерывных функций.
      • Точки разрыва функции. Классификация точек разрыва. Примеры.
      • Свойства функции, непрерывной в точке:
        • локальные свойства непрерывной в точке функции;
        • арифметические операции с непрерывными функциями;
        • непрерывность сложной функции.

    • Лекция 10. Непрерывные функции

      Содержание лекции 10. Теорема Вейерштрасса. Следствие об отделении функции от нуля. Замечание. Пример непрерывной, но не ограниченной на интервале функции. Первая теорема о промежуточном значении. Вторая теорема о промежуточном значении. Следствия.

    • Лекция 11. Равномерно непрерывные функции. Определение производной

      Содержание лекции 11. Равномерно непрерывные функции. Критерий Коши существования предела функции. Пример применения критерия Коши. Сравнение функций: Определение производной. Примеры вычисления производных. Теорема о связи дифференцируемости и непрерывности.

      • Равномерная непрерывность Гиперссылка

        Определение равномерной непрерывности. Критерий Коши существования предела функции. Пример применения критерия Коши.

      • Сравнение функций Гиперссылка

        Сравнение функций:

        • эквивалентные функции;
        • теорема о переходе к эквивалентной функции в произведении;
        • теорема о переходе к эквивалентной функции в частном;
        • примеры;
        • знак «О», функции одного порядка, лемма, следствие;
        • знак «о», критерий эквивалентности двух функций в терминах «о».
      • Определение производной Гиперссылка

        Определение производной. Примеры вычисления производных. Теорема о связи дифференцируемости и непрерывности.

    • Лекция 12. Дифференцируемость. Вычисление производных

      Содержание лекции 12. Односторонние производные. Критерий существования производной в терминах односторонних производных. Определение дифференцируемости. Правила дифференцирования. Примеры вычисления производных. Производная неявной функции. Примеры вычисления производной неявной функции.

      • Односторонние производные. Дифференцируемость функции Гиперссылка

        Односторонние производные. Критерий существования производной в терминах односторонних производных. Определение дифференцируемости функции в точке. Критерий дифференцируемости функции в точке. Следствие. Замечание. Примеры приближенного вычисления значения функции с использованием ее дифференцируемости. Односторонняя дифференцируемость в точке. Дифференцируемость функции на промежутке.

      • Правила дифференцирования Гиперссылка

        Правила дифференцирования:

        • производная cf(x), –∞ < c < +∞ ;
        • производная суммы, линейность операции дифференцирования;
        • производная произведения;
        • производная частного;
        Примеры вычисления производных:
        • производная функции ex(x2-3x+2);
        • производная функции tg(x);
        • производная функции ctg(x).
      • Дифференцирование неявной функции Гиперссылка
        Производная неявной функции. Примеры вычисления производной неявной функции.

    • Лекция 13. Дифференциал. Производная обратной и неявной функции. Производные высших порядков

      Содержание лекции 13. Дифференциал функции. Теорема о дифференциале суммы, разности и произведения двух функций. Теорема о дифференциале частного функций. Производная обратной функции. Производная сложной функции. Производные высших порядков. Формула Лейбница.
      • Дифференциал. Производная обратной функции. Производная сложной функции Гиперссылка
        1. Дифференциал функции. Теорема о дифференциале суммы, разности и произведения двух функций. Теорема о дифференциале частного функций.
        2. Производная обратной функции. Примеры вычисления производной обратной фуекции:
          • производная функции arcsin(x);
          • производная функции arctg(x).
        3. Производная сложной функции. Примеры вычисления производной сложной функции:
          • производная функции ln(sin(x));
          • производная функции \( \ln{(x + \sqrt{x^2 + 1})} \);
          • производная функции \( x^x \);
          • производная функции \( x^{x^x} \);
          • производная функции \( \arcsin{\sin{x^2}} + \arccos{\cos{x^2}} \).
      • Производные высших порядков Гиперссылка

        Производные высших порядков. Примеры вычисления производных \( n \)-го порядка:

        • производная функции \( e^x \);
        • производная функции \( e^{2x} \);
        • производная функции \( \sin{x} \);
        • производная функции \( \ln{x} \);
        • производная функции \( \frac{1}{x^2-1} \).
        Теорема о производной \( n \)-го порядка произведения двух функций (формула Лейбница). Примеры применения формулы Лейбница:
        • производная функции \( x^2e^x \);
        • производная функции \( x\sin{x} \).

    • Лекция 14. Основные теоремы дифференциального исчисления

      Содержание лекции 14. Основные теоремы дифференциального исчисления: теорема Ферма, теорема Ролля, теорема Лагранжа, теорема Коши.

    • Лекция 15. Правило Лопиталя

      Содержание лекции 15. Правило Лопиталя. Вычисление пределов с использованием правила Лопиталя:

      • Правило Лопиталя Гиперссылка

        Правило Лопиталя:

        • теорема о раскрытии неопределенности вида \( ({\frac{0}{0}}) \) 
          при \( x \rightarrow a+0 \);
        • теорема о раскрытии неопределенности вида \( ({\frac{\infty}{\infty}}) \) 
          при \( x \rightarrow a+0 \);
        • теорема о раскрытии неопределенности вида \( ({\frac{0}{0}}) \) 
          при \( x \rightarrow +\infty \).
      • Применение правила Лопиталя Гиперссылка

        Вычисление пределов с использованием правила Лопиталя:

    • Лекция 16. Формула Тейлора

      Содержание лекции 16. Формула Тейлора для многочлена. Формула Тейлора для произвольной функции. Остаточный член в форме Пеано и в форме Лагранжа. Единственность разложения функции по формуле Тейлора с остаточным членом в форме Пеано.

    • Лекция 17. Вычисление пределов

      Содержание лекции 17. Вычисление пределов по определению. Вычисление пределов от рациональных и иррациональных функций. Вычисление пределов с использованием основных эквивалентностей.

    • Лекция 18. Разложение функций по формуле Тейлора

      Содержание лекции 18. Примеры разложения функций по формуле Тейлора.

    • Лекция 19. Приложения формулы Тейлора

      Содержание лекции 19. Применение разложения функций по формуле Тейлора для вычисления пределов.