Тематический план

  • Общее

    Институт математики, механики и компьютерных наук им. И. И. Воровича

    Направление "Фундаментальная информатика и информационные технологии"

    2015/2016 уч. г., 1 курс, 1 семестр

    Лектор к. ф.-м. н., ст. преподаватель кафедры ИВЭ  А.В. Абрамян


    • Лекция 1. Введение

      Содержание лекции 1. Функция "модуль" и ее свойства. Функции "сигнум", "пол" и "потолок". Промежутки. Аксиома полноты. Ограниченные множества  Свойства ограниченных множеств. Максимальный и минимальный элемент. Единственность максимального и минимального элемента. Верхняя и нижняя грань множества. Точная верхняя и точная нижняя грань множества.

    • Лекция 2. Предел последовательности

      Содержание лекции 2. Определение последовательности. Предел последовательности  Сходящиеся последовательности. Теорема о единственности предела последовательности. Теорема об ограниченности сходящейся последовательности. Теорема о пределе суммы, разности и произведения последовательностей. Следствие.

    • Лекция 3. Предел последовательности

      Содержание лекции 3. Свойства последовательностей, связанные с неравенствами. Теорема о трех последовательностях. Теорема о пределе частного двух последовательностей.  Примеры. Лемма о вложенных отрезках.
    • Лекция 4. Предел последовательности

      Содержание лекции 4. Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности. Монотонные последовательности. Критерий сходимости возрастающей последовательности. Следствия. Приложения теоремы о пределе монотонной последовательности (шесть примеров). Число е.

    • Лекция 5. Предел последовательности

      Содержание лекции 5. Подпоследовательность. Теорема о пределе подпоследовательности. Частичный предел. Лемма Больцано-Вейерштрасса. Критерий Коши сходимости последовательности. Пример применения критерия Коши (расходимость гармонической последовательности)..

    • Лекция 6. Предел функции

      Содержание лекции 6. Ограниченные функции. Точная верхняя и точная нижняя грань функции. Максимум м минимум функции. Окрестность и выколотая окрестность точки. Свойства выколотых окрестностей. Предел функции в точке. Теорема о единственности предела. Односторонний предел. Теорема о связи предела функции и односторонних пределов (критерий)
    • Лекция 7. Свойства пределов

      Содержание лекции 7. Локальные свойства функции, имеющей предел. Арифметические операции с пределами.

    • Лекция 8. Свойства пределов

      Содержание лекции 8. Свойства пределов, связанные с неравенствами. Монотонные функции. теорема об односторонних пределах монотонной функции на промежутке. Следствия. Первый замечательный предел. Второй замечательный предел. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Свойства бесконечно малых и бесконечно больших функций.

    • Лекция 9. Предел функции. Непрерывные функции

      Содержание лекции 9.

      • Критерий Коши существования предела функции.Пример применения Критерия Коши.
      • Определение непрерывности в точке. Односторонняя непрерывность в точке. Непрерывность и односторонняя непрерывность на промежутке.Примеры непрерывных функций.
      • Точки разрыва функции. Классификация точек разрыва. Примеры.
      • Свойства функции, непрерывной в точке:
        • локальные свойства непрерывной в точке функции;
        • арифметические операции с непрерывными функциями;
        • непрерывность сложной функции.
    • Лекция 10. Непрерывные функции

      Содержание лекции 10. Теорема Вейерштрасса. Следствие об отделении функции от нуля. Замечание. Пример непрерывной, но не ограниченной на интервале функции. Первая теорема о промежуточном значении. Вторая теорема о промежуточном значении. Следствия.

    • Лекция 11. Равномерно непрерывные функции. Определение производной

      Содержание лекции 11. Равномерно непрерывные функции. Критерий Коши существования предела функции. Пример применения критерия Коши. Сравнение функций: Определение производной. Примеры вычисления производных. Теорема о связи дифференцируемости и непрерывности.

    • Лекция 12. Дифференцируемость. Вычисление производных

      Содержание лекции 12. Односторонние производные. Критерий существования производной в терминах односторонних производных. Определение дифференцируемости. Правила дифференцирования. Примеры вычисления производных. Производная неявной функции. Примеры вычисления производной неявной функции.

    • Лекция 13. Дифференциал. Производная обратной и неявной функции. Производные высших порядков

      Содержание лекции 13. Дифференциал функции. Теорема о дифференциале суммы, разности и произведения двух функций. Теорема о дифференциале частного функций. Производная обратной функции. Производная сложной функции. Производные высших порядков. Формула Лейбница.
    • Лекция 14. Основные теоремы дифференциального исчисления

      Содержание лекции 14. Основные теоремы дифференциального исчисления: теорема Ферма, теорема Ролля, теорема Лагранжа, теорема Коши.

    • Лекция 15. Правило Лопиталя

      Содержание лекции 15. Правило Лопиталя. Вычисление пределов с использованием правила Лопиталя:

    • Лекция 16. Формула Тейлора

      Содержание лекции 16. Формула Тейлора для многочлена. Формула Тейлора для произвольной функции. Остаточный член в форме Пеано и в форме Лагранжа. Единственность разложения функции по формуле Тейлора с остаточным членом в форме Пеано.

    • Лекция 17. Вычисление пределов

      Содержание лекции 17. Вычисление пределов по определению. Вычисление пределов от рациональных и иррациональных функций. Вычисление пределов с использованием основных эквивалентностей.

    • Лекция 18. Разложение функций по формуле Тейлора

      Содержание лекции 18. Примеры разложения функций по формуле Тейлора.

    • Лекция 19. Приложения формулы Тейлора

      Содержание лекции 19. Применение разложения функций по формуле Тейлора для вычисления пределов.