Тематический план

  • Общее

    Институт математики, механики и компьютерных наук им. И. И. Воровича

    Направление "Прикладная математика и информатика"

    2018/2019 уч. г., 2 курс, 1 семестр

    Лектор к. ф.-м. н., доцент кафедры алгебры и дискретной математики М. Э. Абрамян


    • Лекция 1. Декартово произведение

      Содержание лекции 1. Попарно не пересекающиеся множества, разбиение множества, декартово произведение множеств: определения. Примеры декартовых произведений. Свойства декартовых произведений: критерий того, что декартово произведение является пустым множеством; вложение и пересечение декартовых произведений; разность декартовых произведений с двумя сомножителями и в общем случае; разбиение декартова произведения.

    • Лекция 2. Клетки и клеточные множества

      Содержание лекции 2. Клетка в R и ее мера: определение и свойства. Клетка в R^n и ее мера: определение и свойства. Клеточное множество в R^n и его мера: определения и теорема о корректности определения меры клеточного множества. Свойства клеточных множеств: объединение двух непересекающихся (и произвольного числа попарно непересекающихся) клеточных множеств; декартово произведение клеточных множеств; разность двух клеток как клеточное множество; разность, пересечение и объединение двух клеточных множеств; соотношения между мерами множеств A и B, если A вложено в B.

    • Лекция 3. Измеримые по Жордану множества

      Содержание лекции 3. Свойства клеточных множеств (окончание): оценка для меры объединения конечного числа клеточных множеств. Множество, измеримое по Жордану, и его мера: определение и доказательство корректности определения меры. Свойства множества жордановой меры нуль: критерий для множества жордановой меры нуль, объединение множеств жордановой меры нуль, подмножество множества жордановой меры нуль. Критерий измеримости множества (множество ограничено, его граница имеет жорданову меру нуль; без доказательства). Свойства множеств, измеримых по Жордану: пересечение, разность, объединение измеримых множеств; оценка для меры объединения множеств, измеримых по Жордану.

    • Лекция 4. Определение кратного интеграла

      Содержание лекции 4. Оценка для меры объединения множеств, измеримых по Жордану (окончание доказательства). Пример неизмеримого по Жордану множества. Разбиение измеримого множества, диаметр множества, мелкость разбиения: определения. Интегральная сумма функции f, определенной на измеримом множестве G, соответствующая некоторому разбиению и выборке: определения. Кратный интеграл Римана функции f по измеримому множеству G в R^n: определение и связь данного определения при n = 1 с определением интеграла от функции, заданной на отрезке. Пример, показывающий, что при n > 1 неограниченная функция может быть интегрируемой. Функции, существенно неограниченные на измеримом множестве.

    • Лекция 5. Свойства кратного интеграла и классы интегрируемых функций

      Содержание лекции 5. Верхняя и нижняя суммы Дарбу: определения; два критерия интегрируемости ограниченной функции в терминах сумм Дарбу. Свойства кратного интеграла: интеграл от постоянной функции; интеграл от неотрицательной функции; линейность интеграла относительно подынтегральной функции; сравнение кратных интегралов; теорема о среднем для кратного интеграла от непрерывной функции; конечная аддитивность интеграла по области интегрирования, интегрируемость произведения и модуля функции. Теорема об интегрируемости функции, непрерывной на компактном измеримом множестве. Теорема об интегрируемости функции, ограниченной на компактном измеримом множестве и имеющей множество точек разрыва меры нуль.

    • Лекция 6. Сведение кратных интегралов к повторным

      Содержание лекции 6. Следствие из предыдущей теоремы, в котором отсутствует условие компактности измеримого множества G. Цилиндр в R^n: определение и лемма о цилиндре с измеримым основанием. Теорема о том, что график интегрируемой функции имеет меру нуль, следствие об измеримости области, граница которой составлена из графиков непрерывных функций. Теорема о сведении двойного интеграла по прямоугольнику к повторному интегралу.

    • Лекция 7. Замена переменных в кратном интеграле

      Содержание лекции 7. Следствия из теоремы о сведении кратного интеграла к повторному (о равенстве повторных интегралов по прямоугольнику для интегрируемой и для непрерывной функции). Элементарная область в R^2 относительно оси y: определение и теорема о сведении двойного интеграла по элементарной области к повторному интегралу. Элементарная область в R^(n+1): определения и теорема о сведении кратного интеграла по элементарной области к повторному интегралу (без доказательства). Вывод формулы замены переменных вида y = phi(x) для интеграла по неориентированному отрезку в случае взаимно-однозначной дифференцируемой функции phi. Диффеоморфизм из R^n в R^n, его матрица Якоби и якобиан: определения. Формула замены переменных y = phi(x) для кратного интеграла в случае диффеоморфизма phi (без доказательства). Применения формулы замены переменных: случай линейного (в том числе ортогонального) преобразования. 

    • Лекция 8. Определение и свойства несобственного интеграла

      Содержание лекции 8. Применения формулы замены переменных (продолжение): преобразование подобия; геометрический смысл определителя матрицы A как ориентированного объема параллелепипеда, определяемого линейно независимыми вектор-столбцами данной матрицы. Полярные координаты (rho, phi) в R^2: связь с декартовыми координатами (x, y), значение якобиана и формула замены переменных. Сферические координаты (rho, phi, theta) в R^3: связь с декартовыми координатами (x, y, z), значение якобиана и формула замены переменных. Несобственный интеграл по полубесконечному промежутку и по конечному промежутку от неограниченной функции: определения. Общее определение несобственного интеграла с особенностью в правом (левом) конце. Арифметические свойства несобственного интеграла: линейность относительно подынтегральной функции и аддитивность относительно промежутка интегрирования. Замена переменных и интегрирование по частям в несобственном интеграле. Совпадение собственного и несобственного интеграла в случае, если функция интегрируема на промежутке в обычном смысле.

    • Лекция 9. Абсолютная и условная сходимость несобственных интегралов

      Содержание лекции 9. Критерий Коши сходимости несобственного интеграла. Абсолютно сходящиеся несобственные интегралы: определение, лемма о том, что абсолютно сходящийся интеграл является сходящимся. Несобственные интегралы от неотрицательных функций: критерий сходимости, признак сравнения и следствие из него (следствие без доказательства), примеры. Условно сходящиеся несобственные интегралы: определение и пример. Признак Дирихле условной сходимости несобственного интеграла.

    • Лекция 10. Определение и свойства числового ряда, признаки сходимости

      Содержание лекции 10. Интегралы с несколькими особенностями. Сходимость несобственного интеграла в смысле главного значения по Коши: определение и пример. Числовой ряд, частичная сумма ряда, сходимость числового ряда: определения и пример (сумма геометрической прогрессии). Критерий Коши сходимости числового ряда, следствие (необходимое условие сходимости). Абсолютно сходящиеся числовые ряды: определение, лемма о том, что абсолютно сходящийся рад сходится. Арифметические свойства сходящихся рядов. Критерий сходимости неотрицательных числовых рядов (в терминах ограниченности сверху частичных сумм) и признак сравнения. Интегральный признак сходимости неотрицательных числовых рядов.

    • Лекция 11. Признаки сходимости (продолжение), знакопеременные ряды

      Содержание лекции 11. Примеры использования интегрального признака сходимости. Признак сходимости Даламбера, следствие (признак Даламбера в предельной форме). Признак сходимости Коши, следствие (признак Коши в предельной форме). Знакочередующийся ряд (ряд Лейбница): определение, теорема о сходимости, оценка скорости сходимости ряда Лейбница. Условная сходимость числовых рядов. Признак сходимости Дирихле (без доказательства).

    • Лекция 12. Функциональные последовательности и ряды

      Содержание лекции 12. Признак сходимости Дирихле: примеры использования. Признак сходимости Абеля. Теоремы о перестановках членов для абсолютно и условно сходящихся рядов. Функциональная последовательность и функциональный ряд, их сходимость в точке и на множестве: определения. Равномерная сходимость функциональной последовательности и ряда: определения. Критерий равномерной сходимости последовательности f_n(x) в терминах предела супремума разности |f_n(x) – f(x)| (где f(x) — предельная функция последовательности), пример применения и следствие (критерий равномерной сходимости функционального ряда). Критерий Коши равномерной сходимости функциональной последовательности.

    • Лекция 13. Свойства функциональных последовательностей и рядов

      Содержание лекции 13. Критерий Коши равномерной сходимости функциональной последовательности (продолжение), следствие (критерий Коши равномерной сходимости функционального ряда). Признаки равномерной сходимости функциональных рядов: признак Вейерштрасса, признаки Дирихле и Абеля, примеры. Теорема о непрерывности предельной функции равномерно сходящейся функциональной последовательности непрерывных функций, следствие о непрерывности суммы равномерно сходящегося функционального ряда с непрерывными членами. Теорема об интегрировании равномерно сходящейся функциональной последовательности непрерывных функций.