Тематический план

  • Общее

    Институт математики, механики и компьютерных наук им. И. И. Воровича

    Направление "Прикладная математика и информатика"

    2018/2019 уч. г., 2 курс, 1 семестр

    Лектор к. ф.-м. н., доцент кафедры алгебры и дискретной математики М. Э. Абрамян


    • Лекция 1. Декартово произведение

      Содержание лекции 1. Попарно не пересекающиеся множества, разбиение множества, декартово произведение множеств: определения. Примеры декартовых произведений. Свойства декартовых произведений: критерий того, что декартово произведение является пустым множеством; вложение и пересечение декартовых произведений; разность декартовых произведений с двумя сомножителями и в общем случае; разбиение декартова произведения.

    • Лекция 2. Клетки и клеточные множества

      Содержание лекции 2. Клетка в R и ее мера: определение и свойства. Клетка в R^n и ее мера: определение и свойства. Клеточное множество в R^n и его мера: определения и теорема о корректности определения меры клеточного множества. Свойства клеточных множеств: объединение двух непересекающихся (и произвольного числа попарно непересекающихся) клеточных множеств; декартово произведение клеточных множеств; разность двух клеток как клеточное множество; разность, пересечение и объединение двух клеточных множеств; соотношения между мерами множеств A и B, если A вложено в B.

    • Лекция 3. Измеримые по Жордану множества

      Содержание лекции 3. Свойства клеточных множеств (окончание): оценка для меры объединения конечного числа клеточных множеств. Множество, измеримое по Жордану, и его мера: определение и доказательство корректности определения меры. Свойства множества жордановой меры нуль: критерий для множества жордановой меры нуль, объединение множеств жордановой меры нуль, подмножество множества жордановой меры нуль. Критерий измеримости множества (множество ограничено, его граница имеет жорданову меру нуль; без доказательства). Свойства множеств, измеримых по Жордану: пересечение, разность, объединение измеримых множеств; оценка для меры объединения множеств, измеримых по Жордану.

    • Лекция 4. Определение кратного интеграла

      Содержание лекции 4. Оценка для меры объединения множеств, измеримых по Жордану (окончание доказательства). Пример неизмеримого по Жордану множества. Разбиение измеримого множества, диаметр множества, мелкость разбиения: определения. Интегральная сумма функции f, определенной на измеримом множестве G, соответствующая некоторому разбиению и выборке: определения. Кратный интеграл Римана функции f по измеримому множеству G в R^n: определение и связь данного определения при n = 1 с определением интеграла от функции, заданной на отрезке. Пример, показывающий, что при n > 1 неограниченная функция может быть интегрируемой. Функции, существенно неограниченные на измеримом множестве.

    • Лекция 5. Свойства кратного интеграла и классы интегрируемых функций

      Содержание лекции 5. Верхняя и нижняя суммы Дарбу: определения; два критерия интегрируемости ограниченной функции в терминах сумм Дарбу. Свойства кратного интеграла: интеграл от постоянной функции; интеграл от неотрицательной функции; линейность интеграла относительно подынтегральной функции; сравнение кратных интегралов; теорема о среднем для кратного интеграла от непрерывной функции; конечная аддитивность интеграла по области интегрирования, интегрируемость произведения и модуля функции. Теорема об интегрируемости функции, непрерывной на компактном измеримом множестве. Теорема об интегрируемости функции, ограниченной на компактном измеримом множестве и имеющей множество точек разрыва меры нуль.

    • Лекция 6. Сведение кратных интегралов к повторным

      Содержание лекции 6. Следствие из предыдущей теоремы, в котором отсутствует условие компактности измеримого множества G. Цилиндр в R^n: определение и лемма о цилиндре с измеримым основанием. Теорема о том, что график интегрируемой функции имеет меру нуль, следствие об измеримости области, граница которой составлена из графиков непрерывных функций. Теорема о сведении двойного интеграла по прямоугольнику к повторному интегралу.

    • Лекция 7. Замена переменных в кратном интеграле

      Содержание лекции 7. Следствия из теоремы о сведении кратного интеграла к повторному (о равенстве повторных интегралов по прямоугольнику для интегрируемой и для непрерывной функции). Элементарная область в R^2 относительно оси y: определение и теорема о сведении двойного интеграла по элементарной области к повторному интегралу. Элементарная область в R^(n+1): определения и теорема о сведении кратного интеграла по элементарной области к повторному интегралу (без доказательства). Вывод формулы замены переменных вида y = phi(x) для интеграла по неориентированному отрезку в случае взаимно-однозначной дифференцируемой функции phi. Диффеоморфизм из R^n в R^n, его матрица Якоби и якобиан: определения. Формула замены переменных y = phi(x) для кратного интеграла в случае диффеоморфизма phi (без доказательства). Применения формулы замены переменных: случай линейного (в том числе ортогонального) преобразования. 

    • Лекция 8. Определение и свойства несобственного интеграла

      Содержание лекции 8. Применения формулы замены переменных (продолжение): преобразование подобия; геометрический смысл определителя матрицы A как ориентированного объема параллелепипеда, определяемого линейно независимыми вектор-столбцами данной матрицы. Полярные координаты (rho, phi) в R^2: связь с декартовыми координатами (x, y), значение якобиана и формула замены переменных. Сферические координаты (rho, phi, theta) в R^3: связь с декартовыми координатами (x, y, z), значение якобиана и формула замены переменных. Несобственный интеграл по полубесконечному промежутку и по конечному промежутку от неограниченной функции: определения. Общее определение несобственного интеграла с особенностью в правом (левом) конце. Арифметические свойства несобственного интеграла: линейность относительно подынтегральной функции и аддитивность относительно промежутка интегрирования. Замена переменных и интегрирование по частям в несобственном интеграле. Совпадение собственного и несобственного интеграла в случае, если функция интегрируема на промежутке в обычном смысле.

    • Лекция 9. Абсолютная и условная сходимость несобственных интегралов

      Содержание лекции 9. Критерий Коши сходимости несобственного интеграла. Абсолютно сходящиеся несобственные интегралы: определение, лемма о том, что абсолютно сходящийся интеграл является сходящимся. Несобственные интегралы от неотрицательных функций: критерий сходимости, признак сравнения и следствие из него (следствие без доказательства), примеры. Условно сходящиеся несобственные интегралы: определение и пример. Признак Дирихле условной сходимости несобственного интеграла.

    • Лекция 10. Определение и свойства числового ряда, признаки сходимости

      Содержание лекции 10. Интегралы с несколькими особенностями. Сходимость несобственного интеграла в смысле главного значения по Коши: определение и пример. Числовой ряд, частичная сумма ряда, сходимость числового ряда: определения и пример (сумма геометрической прогрессии). Критерий Коши сходимости числового ряда, следствие (необходимое условие сходимости). Абсолютно сходящиеся числовые ряды: определение, лемма о том, что абсолютно сходящийся рад сходится. Арифметические свойства сходящихся рядов. Критерий сходимости неотрицательных числовых рядов (в терминах ограниченности сверху частичных сумм) и признак сравнения. Интегральный признак сходимости неотрицательных числовых рядов.

    • Лекция 11. Признаки сходимости (продолжение), знакопеременные ряды

      Содержание лекции 11. Примеры использования интегрального признака сходимости. Признак сходимости Даламбера, следствие (признак Даламбера в предельной форме). Признак сходимости Коши, следствие (признак Коши в предельной форме). Знакочередующийся ряд (ряд Лейбница): определение, теорема о сходимости, оценка скорости сходимости ряда Лейбница. Условная сходимость числовых рядов. Признак сходимости Дирихле (без доказательства).

    • Лекция 12. Функциональные последовательности и ряды

      Содержание лекции 12. Признак сходимости Дирихле: примеры использования. Признак сходимости Абеля. Теоремы о перестановках членов для абсолютно и условно сходящихся рядов. Функциональная последовательность и функциональный ряд, их сходимость в точке и на множестве: определения. Равномерная сходимость функциональной последовательности и ряда: определения. Критерий равномерной сходимости последовательности f_n(x) в терминах предела супремума разности |f_n(x) – f(x)| (где f(x) — предельная функция последовательности), пример применения и следствие (критерий равномерной сходимости функционального ряда). Критерий Коши равномерной сходимости функциональной последовательности.

    • Лекция 13. Свойства функциональных последовательностей и рядов

      Содержание лекции 13. Критерий Коши равномерной сходимости функциональной последовательности (продолжение), следствие (критерий Коши равномерной сходимости функционального ряда). Признаки равномерной сходимости функциональных рядов: признак Вейерштрасса, признаки Дирихле и Абеля, примеры. Теорема о непрерывности предельной функции равномерно сходящейся функциональной последовательности непрерывных функций, следствие о непрерывности суммы равномерно сходящегося функционального ряда с непрерывными членами. Теорема об интегрировании равномерно сходящейся функциональной последовательности непрерывных функций.

    • Лекция 14. Степенные ряды

      Содержание лекции 14. Теорема об интегрировании равномерно сходящейся функциональной последовательности непрерывных функций (повторение); следствие о почленной интегрируемости равномерно сходящегося функционального ряда с непрерывными членами. Теорема о дифференцировании функциональной последовательности; следствие о почленной дифференцируемости равномерно сходящегося функционального ряда с дифференцируемыми членами. Степенной ряд: определение. Теоремы об абсолютной и равномерной сходимости степенного ряда и о существовании его радиуса сходимости.

    • Лекция 15. Свойства степенных рядов

      Содержание лекции 15. Верхний и нижний пределы числовой последовательности: определение. Теорема Коши-Адамара о нахождении радиуса сходимости степенного ряда (без доказательства), доказательство формулы для радиуса сходимости в случае обычного предела, примеры применения формулы (в том числе в ситуации, когда обычного предела не существует). Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости степенного ряда на его интервале сходимости. Вещественная аналитическая функция: определение. Бесконечная дифференцируемость вещественной аналитической функции и формулы для коэффициентов степенного ряда, в который она разлагается. Ряд Тейлора: определение.

    • Лекция 16. Ряд Тейлора

      Содержание лекции 16. Ряд Тейлора: определение. Пример, показывающий, что бесконечной дифференцируемости недостаточно для разложения функции в ряд Тейлора. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа (повторение). Теорема о разложении в ряд Тейлора функции, все производные которой равномерно ограничены, следствия (разложение в ряд Тейлора функций e^x. sin(x). cos(x)). Разложение в ряд Тейлора функции (1 + x)^alpha при |x| < 1 (без обоснования сходимости). Разложение в ряд Тейлора функции ln(1 + x) при |x| < 1, полученное на основе почленного интегрирования ряда Тейлора для функции 1/(1 + x). Разложение в ряд Тейлора функции arcsin(x) при |x| < 1.

    • Лекция 17. Ряд Фурье в евклидовом пространстве

      Содержание лекции 17. Вещественное евклидово пространство E: определение, включающее аксиомы скалярного произведения. Норма вектора в E: определение. Неравенство Коши-Буняковского, неравенство треугольника. Метрика в E и сходимость последовательностей векторов в E ("сходимость по норме E"): определения. Ортогональная и ортонормированная система векторов в E: определение. Коэффициенты Фурье, частичная сумма Фурье и формальный ряд Фурье вектора евклидова пространства по ортонормированной системе: определения. Теорема об экстремальном свойстве частичных сумм Фурье, следствие (неравенство Бесселя). Полная система в евклидовом пространстве E: определение. Равенство Парсеваля для коэффициентов Фурье по полной ортонормированной системе в E; следствие о сходимости по норме E ряда Фурье в случае полной ортонормированной системы.

    • Лекция 18. Ряд Фурье в пространстве интегрируемых функций

      Содержание лекции 18. Скалярное произведение на классах эквивалентности функций, интегрируемых по Риману; евклидово пространство R([–Pi, Pi]): определения. Тригонометрическая система функций {(2Pi)^(–1/2), (Pi)^(–1/2)*cos(kx), (Pi)^(–1/2)*sin(kx), k = 1, 2, ...}, доказательство ее ортонормированности в R([–Pi, Pi]). Ортонормированные тригонометрические системы функций в R([–l, l]) и R([a, b]). Коэффициенты Фурье, формальный ряд Фурье по тригонометрической системе функций, неравенство Бесселя (два представления). Теорема о равномерной аппроксимации непрерывной 2Pi-периодической функции тригонометрическими полиномами, теорема о равномерной аппроксимации непрерывной на сегменте функции алгебраическими полиномами (обе теоремы без доказательства).

    • Лекция 19. Свойства рядов Фурье для различных классов функций

      Содержание лекции 19. Теорема об аппроксимации в R([–Pi, Pi]) кусочно-непрерывной функции тригонометрическими полиномами. Следствие о сходимости по норме R([–Pi, Pi]) ("сходимости в среднеквадратичном") ряда Фурье кусочно-непрерывной функции. Кусочно-непрерывно-дифференцируемая функция: определение. Теорема о поточечной сходимости ряда Фурье кусочно-непрерывно-дифференцируемой функции (без доказательства). Теорема о равномерной сходимости ряда Фурье непрерывной 2Pi-периодической функции с кусочно-непрерывной производной. Асимптотическое свойство коэффициентов ряда Фурье функции, имеющей n производных.

    • Лекция 20. Интегралы, зависящие от параметра

      Содержание лекции 20. Равномерная по параметру x сходимость функции f(x, y) к предельной функции phi(x) при у -> y0: определение, критерий Коши равномерной сходимости по параметру (без доказательства). Теорема о предельном переходе под знаком собственного интеграла; следствие о непрерывности собственного интеграла с фиксированными пределами от непрерывной функции, определенной на компакте. Теорема о непрерывности собственного интеграла с переменными пределами, зависящего от параметра. Замечание об интегрировании интеграла, зависящего от параметра. Теорема о дифференцировании собственного интеграла с фиксированными пределами, зависящего от параметра.

    • Лекция 21. Собственные и несобственные интегралы, зависящие от параметра

      Содержание лекции 21. Теорема о дифференцировании собственного интеграла с фиксированными пределами, зависящего от параметра (окончание доказательства). Теорема о дифференцировании собственного интеграла с переменными дифференцируемыми пределами от дифференцируемой функции. Равномерная сходимость несобственного интеграла, зависящего от параметра: определение, критерий Коши (без доказательства), признак Вейерштрасса (без доказательства), примеры. Лемма о перестановке предельных переходов.

    • Лекция 22. Свойства несобственных интегралов, зависящих от параметра

      Содержание лекции 22. Теорема о предельном переходе под знаком несобственного интеграла; следствие о непрерывности равномерно сходящегося (по параметру y) несобственного интеграла от непрерывной функции, определенной по параметру y на компакте. Теорема о собственном интегрировании несобственного интеграла, зависящего от параметра. Теорема о перестановке несобственных интегралов. Теорема о дифференцировании несобственного интеграла, зависящего от параметра.

    • Лекция 23. Функции Эйлера

      Содержание лекции 23. Гамма-функция Г(x): определение в виде несобственного интеграла, непрерывность гамма-функции Г(x) для x > 0. Бесконечная дифференцируемость гамма-функции. Основное соотношение для гамма-функции (Г(x + 1) = x Г(x)) и его следствия: связь гамма-функции и факториала, поведение гамма-функции Г(x) при x -> +0, определение гамма-функции для x < 0. Бета-функция В(x, y): определение в виде несобственного интеграла, непрерывность бета-функции В(x, y) для x > 0, y > 0. Свойства бета-функции: (1) В(x, y) = В(y, x); (2) В(x, 1 – x) = Pi / sin(x*Pi) при 0 < x < 1; (3) B(x, y) = Г(x) Г(y) / Г(x + y) (свойства 2 и 3 без доказательства), следствие (значение интеграла Пуассона). Применение бета-функции для вычисления интегралов от тригонометрических функций вида (sin phi)^(a–1) * (cos phi)^(b–1), a > 0, b > 0, на промежутке от 0 до Pi/2, следствие (значение интеграла от функции (tg phi)^c при |c| < 1 на промежутке от 0 до Pi/2).

    • Экзамен