Общее
Институт математики, механики и компьютерных наук им. И. И. Воровича
Направление "Прикладная математика и информатика"
2018/2019 уч. г., 2 курс, 1 семестр
Лектор к. ф.-м. н., доцент кафедры алгебры и дискретной математики М. Э. Абрамян
Институт математики, механики и компьютерных наук им. И. И. Воровича
Направление "Прикладная математика и информатика"
2018/2019 уч. г., 2 курс, 1 семестр
Лектор к. ф.-м. н., доцент кафедры алгебры и дискретной математики М. Э. Абрамян
Содержание лекции 1. Попарно не пересекающиеся множества, разбиение множества, декартово произведение множеств: определения. Примеры декартовых произведений. Свойства декартовых произведений: критерий того, что декартово произведение является пустым множеством; вложение и пересечение декартовых произведений; разность декартовых произведений с двумя сомножителями и в общем случае; разбиение декартова произведения.
Содержание лекции 2. Клетка в R и ее мера: определение и свойства. Клетка в R^n и ее мера: определение и свойства. Клеточное множество в R^n и его мера: определения и теорема о корректности определения меры клеточного множества. Свойства клеточных множеств: объединение двух непересекающихся (и произвольного числа попарно непересекающихся) клеточных множеств; декартово произведение клеточных множеств; разность двух клеток как клеточное множество; разность, пересечение и объединение двух клеточных множеств; соотношения между мерами множеств A и B, если A вложено в B.
Содержание лекции 3. Свойства клеточных множеств (окончание): оценка для меры объединения конечного числа клеточных множеств. Множество, измеримое по Жордану, и его мера: определение и доказательство корректности определения меры. Свойства множества жордановой меры нуль: критерий для множества жордановой меры нуль, объединение множеств жордановой меры нуль, подмножество множества жордановой меры нуль. Критерий измеримости множества (множество ограничено, его граница имеет жорданову меру нуль; без доказательства). Свойства множеств, измеримых по Жордану: пересечение, разность, объединение измеримых множеств; оценка для меры объединения множеств, измеримых по Жордану.
Содержание лекции 4. Оценка для меры объединения множеств, измеримых по Жордану (окончание доказательства). Пример неизмеримого по Жордану множества. Разбиение измеримого множества, диаметр множества, мелкость разбиения: определения. Интегральная сумма функции f, определенной на измеримом множестве G, соответствующая некоторому разбиению и выборке: определения. Кратный интеграл Римана функции f по измеримому множеству G в R^n: определение и связь данного определения при n = 1 с определением интеграла от функции, заданной на отрезке. Пример, показывающий, что при n > 1 неограниченная функция может быть интегрируемой. Функции, существенно неограниченные на измеримом множестве.
Содержание лекции 5. Верхняя и нижняя суммы Дарбу: определения; два критерия интегрируемости ограниченной функции в терминах сумм Дарбу. Свойства кратного интеграла: интеграл от постоянной функции; интеграл от неотрицательной функции; линейность интеграла относительно подынтегральной функции; сравнение кратных интегралов; теорема о среднем для кратного интеграла от непрерывной функции; конечная аддитивность интеграла по области интегрирования, интегрируемость произведения и модуля функции. Теорема об интегрируемости функции, непрерывной на компактном измеримом множестве. Теорема об интегрируемости функции, ограниченной на компактном измеримом множестве и имеющей множество точек разрыва меры нуль.
Содержание лекции 6. Следствие из предыдущей теоремы, в котором отсутствует условие компактности измеримого множества G. Цилиндр в R^n: определение и лемма о цилиндре с измеримым основанием. Теорема о том, что график интегрируемой функции имеет меру нуль, следствие об измеримости области, граница которой составлена из графиков непрерывных функций. Теорема о сведении двойного интеграла по прямоугольнику к повторному интегралу.
Содержание лекции 7. Следствия из теоремы о сведении кратного интеграла к повторному (о равенстве повторных интегралов по прямоугольнику для интегрируемой и для непрерывной функции). Элементарная область в R^2 относительно оси y: определение и теорема о сведении двойного интеграла по элементарной области к повторному интегралу. Элементарная область в R^(n+1): определения и теорема о сведении кратного интеграла по элементарной области к повторному интегралу (без доказательства). Вывод формулы замены переменных вида y = phi(x) для интеграла по неориентированному отрезку в случае взаимно-однозначной дифференцируемой функции phi. Диффеоморфизм из R^n в R^n, его матрица Якоби и якобиан: определения. Формула замены переменных y = phi(x) для кратного интеграла в случае диффеоморфизма phi (без доказательства). Применения формулы замены переменных: случай линейного (в том числе ортогонального) преобразования.
Содержание лекции 8. Применения формулы замены переменных (продолжение): преобразование подобия; геометрический смысл определителя матрицы A как ориентированного объема параллелепипеда, определяемого линейно независимыми вектор-столбцами данной матрицы. Полярные координаты (rho, phi) в R^2: связь с декартовыми координатами (x, y), значение якобиана и формула замены переменных. Сферические координаты (rho, phi, theta) в R^3: связь с декартовыми координатами (x, y, z), значение якобиана и формула замены переменных. Несобственный интеграл по полубесконечному промежутку и по конечному промежутку от неограниченной функции: определения. Общее определение несобственного интеграла с особенностью в правом (левом) конце. Арифметические свойства несобственного интеграла: линейность относительно подынтегральной функции и аддитивность относительно промежутка интегрирования. Замена переменных и интегрирование по частям в несобственном интеграле. Совпадение собственного и несобственного интеграла в случае, если функция интегрируема на промежутке в обычном смысле.
Содержание лекции 9. Критерий Коши сходимости несобственного интеграла. Абсолютно сходящиеся несобственные интегралы: определение, лемма о том, что абсолютно сходящийся интеграл является сходящимся. Несобственные интегралы от неотрицательных функций: критерий сходимости, признак сравнения и следствие из него (следствие без доказательства), примеры. Условно сходящиеся несобственные интегралы: определение и пример. Признак Дирихле условной сходимости несобственного интеграла.
Содержание лекции 10. Интегралы с несколькими особенностями. Сходимость несобственного интеграла в смысле главного значения по Коши: определение и пример. Числовой ряд, частичная сумма ряда, сходимость числового ряда: определения и пример (сумма геометрической прогрессии). Критерий Коши сходимости числового ряда, следствие (необходимое условие сходимости). Абсолютно сходящиеся числовые ряды: определение, лемма о том, что абсолютно сходящийся рад сходится. Арифметические свойства сходящихся рядов. Критерий сходимости неотрицательных числовых рядов (в терминах ограниченности сверху частичных сумм) и признак сравнения. Интегральный признак сходимости неотрицательных числовых рядов.
Содержание лекции 11. Примеры использования интегрального признака сходимости. Признак сходимости Даламбера, следствие (признак Даламбера в предельной форме). Признак сходимости Коши, следствие (признак Коши в предельной форме). Знакочередующийся ряд (ряд Лейбница): определение, теорема о сходимости, оценка скорости сходимости ряда Лейбница. Условная сходимость числовых рядов. Признак сходимости Дирихле (без доказательства).
Содержание лекции 12. Признак сходимости Дирихле: примеры использования. Признак сходимости Абеля. Теоремы о перестановках членов для абсолютно и условно сходящихся рядов. Функциональная последовательность и функциональный ряд, их сходимость в точке и на множестве: определения. Равномерная сходимость функциональной последовательности и ряда: определения. Критерий равномерной сходимости последовательности f_n(x) в терминах предела супремума разности |f_n(x) – f(x)| (где f(x) — предельная функция последовательности), пример применения и следствие (критерий равномерной сходимости функционального ряда). Критерий Коши равномерной сходимости функциональной последовательности.
Содержание лекции 13. Критерий Коши равномерной сходимости функциональной последовательности (продолжение), следствие (критерий Коши равномерной сходимости функционального ряда). Признаки равномерной сходимости функциональных рядов: признак Вейерштрасса, признаки Дирихле и Абеля, примеры. Теорема о непрерывности предельной функции равномерно сходящейся функциональной последовательности непрерывных функций, следствие о непрерывности суммы равномерно сходящегося функционального ряда с непрерывными членами. Теорема об интегрировании равномерно сходящейся функциональной последовательности непрерывных функций.
Содержание лекции 14. Теорема об интегрировании равномерно сходящейся функциональной последовательности непрерывных функций (повторение); следствие о почленной интегрируемости равномерно сходящегося функционального ряда с непрерывными членами. Теорема о дифференцировании функциональной последовательности; следствие о почленной дифференцируемости равномерно сходящегося функционального ряда с дифференцируемыми членами. Степенной ряд: определение. Теоремы об абсолютной и равномерной сходимости степенного ряда и о существовании его радиуса сходимости.
Содержание лекции 15. Верхний и нижний пределы числовой последовательности: определение. Теорема Коши-Адамара о нахождении радиуса сходимости степенного ряда (без доказательства), доказательство формулы для радиуса сходимости в случае обычного предела, примеры применения формулы (в том числе в ситуации, когда обычного предела не существует). Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости степенного ряда на его интервале сходимости. Вещественная аналитическая функция: определение. Бесконечная дифференцируемость вещественной аналитической функции и формулы для коэффициентов степенного ряда, в который она разлагается. Ряд Тейлора: определение.
Содержание лекции 16. Ряд Тейлора: определение. Пример, показывающий, что бесконечной дифференцируемости недостаточно для разложения функции в ряд Тейлора. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа (повторение). Теорема о разложении в ряд Тейлора функции, все производные которой равномерно ограничены, следствия (разложение в ряд Тейлора функций e^x. sin(x). cos(x)). Разложение в ряд Тейлора функции (1 + x)^alpha при |x| < 1 (без обоснования сходимости). Разложение в ряд Тейлора функции ln(1 + x) при |x| < 1, полученное на основе почленного интегрирования ряда Тейлора для функции 1/(1 + x). Разложение в ряд Тейлора функции arcsin(x) при |x| < 1.
Содержание лекции 17. Вещественное евклидово пространство E: определение, включающее аксиомы скалярного произведения. Норма вектора в E: определение. Неравенство Коши-Буняковского, неравенство треугольника. Метрика в E и сходимость последовательностей векторов в E ("сходимость по норме E"): определения. Ортогональная и ортонормированная система векторов в E: определение. Коэффициенты Фурье, частичная сумма Фурье и формальный ряд Фурье вектора евклидова пространства по ортонормированной системе: определения. Теорема об экстремальном свойстве частичных сумм Фурье, следствие (неравенство Бесселя). Полная система в евклидовом пространстве E: определение. Равенство Парсеваля для коэффициентов Фурье по полной ортонормированной системе в E; следствие о сходимости по норме E ряда Фурье в случае полной ортонормированной системы.
Содержание лекции 18. Скалярное произведение на классах эквивалентности функций, интегрируемых по Риману; евклидово пространство R([–Pi, Pi]): определения. Тригонометрическая система функций {(2Pi)^(–1/2), (Pi)^(–1/2)*cos(kx), (Pi)^(–1/2)*sin(kx), k = 1, 2, ...}, доказательство ее ортонормированности в R([–Pi, Pi]). Ортонормированные тригонометрические системы функций в R([–l, l]) и R([a, b]). Коэффициенты Фурье, формальный ряд Фурье по тригонометрической системе функций, неравенство Бесселя (два представления). Теорема о равномерной аппроксимации непрерывной 2Pi-периодической функции тригонометрическими полиномами, теорема о равномерной аппроксимации непрерывной на сегменте функции алгебраическими полиномами (обе теоремы без доказательства).
Содержание лекции 19. Теорема об аппроксимации в R([–Pi, Pi]) кусочно-непрерывной функции тригонометрическими полиномами. Следствие о сходимости по норме R([–Pi, Pi]) ("сходимости в среднеквадратичном") ряда Фурье кусочно-непрерывной функции. Кусочно-непрерывно-дифференцируемая функция: определение. Теорема о поточечной сходимости ряда Фурье кусочно-непрерывно-дифференцируемой функции (без доказательства). Теорема о равномерной сходимости ряда Фурье непрерывной 2Pi-периодической функции с кусочно-непрерывной производной. Асимптотическое свойство коэффициентов ряда Фурье функции, имеющей n производных.
Содержание лекции 20. Равномерная по параметру x сходимость функции f(x, y) к предельной функции phi(x) при у -> y0: определение, критерий Коши равномерной сходимости по параметру (без доказательства). Теорема о предельном переходе под знаком собственного интеграла; следствие о непрерывности собственного интеграла с фиксированными пределами от непрерывной функции, определенной на компакте. Теорема о непрерывности собственного интеграла с переменными пределами, зависящего от параметра. Замечание об интегрировании интеграла, зависящего от параметра. Теорема о дифференцировании собственного интеграла с фиксированными пределами, зависящего от параметра.
Содержание лекции 21. Теорема о дифференцировании собственного интеграла с фиксированными пределами, зависящего от параметра (окончание доказательства). Теорема о дифференцировании собственного интеграла с переменными дифференцируемыми пределами от дифференцируемой функции. Равномерная сходимость несобственного интеграла, зависящего от параметра: определение, критерий Коши (без доказательства), признак Вейерштрасса (без доказательства), примеры. Лемма о перестановке предельных переходов.
Содержание лекции 22. Теорема о предельном переходе под знаком несобственного интеграла; следствие о непрерывности равномерно сходящегося (по параметру y) несобственного интеграла от непрерывной функции, определенной по параметру y на компакте. Теорема о собственном интегрировании несобственного интеграла, зависящего от параметра. Теорема о перестановке несобственных интегралов. Теорема о дифференцировании несобственного интеграла, зависящего от параметра.
Содержание лекции 23. Гамма-функция Г(x): определение в виде несобственного интеграла, непрерывность гамма-функции Г(x) для x > 0. Бесконечная дифференцируемость гамма-функции. Основное соотношение для гамма-функции (Г(x + 1) = x Г(x)) и его следствия: связь гамма-функции и факториала, поведение гамма-функции Г(x) при x -> +0, определение гамма-функции для x < 0. Бета-функция В(x, y): определение в виде несобственного интеграла, непрерывность бета-функции В(x, y) для x > 0, y > 0. Свойства бета-функции: (1) В(x, y) = В(y, x); (2) В(x, 1 – x) = Pi / sin(x*Pi) при 0 < x < 1; (3) B(x, y) = Г(x) Г(y) / Г(x + y) (свойства 2 и 3 без доказательства), следствие (значение интеграла Пуассона). Применение бета-функции для вычисления интегралов от тригонометрических функций вида (sin phi)^(a–1) * (cos phi)^(b–1), a > 0, b > 0, на промежутке от 0 до Pi/2, следствие (значение интеграла от функции (tg phi)^c при |c| < 1 на промежутке от 0 до Pi/2).