Тематический план

  • Общее

    Институт математики, механики и компьютерных наук им. И. И. Воровича

    Направление "Прикладная математика и информатика"

    2018/2019 уч. г., 2 курс, 1 семестр

    Лектор к. ф.-м. н., доцент кафедры алгебры и дискретной математики М. Э. Абрамян

    10. Несобственные интегралы: определение и свойства
    • [3.8B/00:00 (04:13)] Задачи, приводящие к понятию несобственного интеграла
    • Варианты определения несобственного интеграла
          [3.8B/04:13 (10:02)] Несобственный интеграл по полубесконечному промежутку
          [3.8B/14:15 (09:12)] Несобственный интеграл от неограниченной функции и определение несобственного интеграла в общем случае
    • Свойства несобственных интегралов
          [3.8B/23:27 (05:12)] Линейность несобственного интеграла относительно подынтегральной функции
          [3.8B/28:39 (05:47)] Аддитивность несобственного интеграла относительно промежутка интегрирования и замена переменной в несобственном интеграле
          [3.8B/34:26 (07:19)] Формула интегрирования по частям для несобственных интегралов. Теорема о совпадении интеграла в собственном и несобственном смысле
    11. Абсолютная и условная сходимость несобственных интегралов
    • [3.9A/00:00 (10:08)] Критерий Коши сходимости несобственного интеграла
    • [3.9A/10:08 (06:46)] Абсолютная сходимость несобственных интегралов
    • Свойства несобственных интегралов от неотрицательных функций
          [3.9A/16:54 (10:00)] Критерий сходимости несобственных интегралов от неотрицательных функций
          [3.9A/26:54 (10:35)] Признак сравнения
          [3.9A/37:29 (04:25)] Следствие из признака сравнения
          [3.9B/00:00 (08:23)] Примеры применения признака сравнения
    • [3.9B/08:23 (15:56)] Условная сходимость несобственных интегралов
    • Признак Дирихле условной сходимости несобственного интеграла
          [3.9B/24:19 (06:36)] Формулировка признака Дирихле
          [3.9B/30:55 (13:14)] Доказательство признака Дирихле
    • [3.10A/00:00 (11:35)] Интегралы, имеющие несколько особенностей
    12. Числовые ряды
    • Числовые ряды: определение и примеры
          [3.10A/11:35 (05:39)] Определение числового ряда
          [3.10A/17:14 (10:21)] Пример числового ряда: сумма элементов геометрической прогрессии
    • Критерий Коши сходимости числового ряда и необходимое условие его сходимости
          [3.10A/27:35 (07:57)] Критерий Коши сходимости числового ряда
          [3.10A/35:32 (04:58)] Необходимое условие сходимости числового ряда
    • Абсолютно сходящиеся числовые ряды и арифметические свойства сходящихся числовых рядов
          [3.10A/40:30 (01:44), 3.10B/00:00 (03:09)] Абсолютная сходимость числовых рядов
          [3.10B/03:09 (08:19)] Арифметические свойства сходящихся числовых рядов
    13. Признаки сходимости числовых рядов с неотрицательными членами
    • Признак сравнения
          [3.10B/11:28 (07:21)] Критерий сходимости числовых рядов с неотрицательными членами
          [3.10B/18:49 (06:49)] Признак сравнения для числовых рядов
    • Интегральный признак сходимости
          [3.10B/25:38 (03:55)] Формулировка интегрального признака сходимости
          [3.10B/29:33 (07:07)] Начальный этап доказательства
          [3.10B/36:40 (07:13)] Завершающий этап доказательства
          [3.11A/00:00 (04:49)] Пример применения интегрального признака сходимости
    • Признаки Даламбера и Коши сходимости числовых рядов
          [3.11A/04:49 (04:01)] Формулировка признака сходимости Даламбера
          [3.11A/08:50 (08:54)] Доказательство признака сходимости Даламбера
          [3.11A/17:44 (07:23)] Признак Даламбера в предельной форме
          [3.11A/25:07 (02:48)] Пример применения признака Даламбера
          [3.11A/27:55 (07:22)] Признак сходимости Коши
          [3.11A/35:17 (06:06)] Пример применения признака Коши
    14. Знакочередующиеся ряды и условная сходимость
    • Знакочередующиеся ряды
          [3.11B/00:00 (04:22)] Определение условной сходимости, знакочередующегося ряда и ряда Лейбница
          [3.11B/04:22 (11:11)] Теорема о сходимости ряда Лейбница
          [3.11B/15:33 (14:19)] Оценка суммы ряда Лейбница через его частичные суммы
    • Признаки Дирихле и Абеля условной сходимости числового ряда
          [3.11B/29:52 (04:29), 3.12A/00:00 (03:18)] Признак Дирихле условной сходимости числового ряда
          [3.12A/03:18 (11:41)] Примеры применения признака Дирихле
          [3.12A/14:59 (06:03)] Доказательство отсутствия абсолютной сходимости
          [3.12A/21:02 (06:58)] Признак Абеля условной сходимости числового ряда
    • [3.12A/28:00 (07:07)] Дополнительные замечания об абсолютно и условно сходящихся рядах
    15. Функциональные последовательности и ряды
    • Поточечная и равномерная сходимость функциональной последовательности и функционального ряда
          [3.12A/35:07 (10:52)] Функциональная последовательность и функциональный ряд, их поточечная сходимость
          [3.12B/00:00 (03:57)] Равномерная сходимость функциональной последовательности
          [3.12B/03:57 (10:28)] Критерий равномерной сходимости функциональной последовательности в терминах предела супремума
          [3.12B/14:25 (14:47)] Примеры применения критерия равномерной сходимости функциональной последовательности
          [3.12B/29:12 (05:20)] Равномерная сходимость функционального ряда и критерий равномерной сходимости ряда в терминах предела супремума
    • Критерий Коши равномерной сходимости функциональной последовательности и функционального ряда
          [3.12B/34:32 (04:54)] Формулировка критерия Коши равномерной сходимости функциональной последовательности
          [3.13A/00:00 (10:53)] Доказательство критерия Коши равномерной сходимости функциональной последовательности
          [3.13A/10:53 (03:41)] Критерий Коши равномерной сходимости функционального ряда
    • Признаки равномерной сходимости функциональных рядов
          [3.13A/14:34 (12:01)] Признак Вейерштрасса
          [3.13A/26:35 (07:50)] Признаки Дирихле и Абеля
    16. Свойства равномерно сходящихся последовательностей и рядов
    • Непрерывность равномерного предела
          [3.13A/34:25 (09:02)] Формулировка теоремы о непрерывности равномерного предела
          [3.13B/00:00 (13:55)] Доказательство теоремы о непрерывности равномерного предела
          [3.13B/13:55 (09:55)] Следствие для функциональных рядов
    • Интегрирование функциональных последовательностей и рядов
          [3.13B/23:50 (03:57)] Формулировка теоремы об интегрировании функциональной последовательности
          [3.13B/27:47 (06:14)] Доказательство теоремы об интегрировании функциональной последовательности
          [3.14A/00:00 (08:28)] Формулировка следствия об интегрировании функционального ряда
          [3.14A/08:28 (04:38)] Доказательство следствия об интегрировании функционального ряда
    • Дифференцирование функциональных последовательностей и рядов
          [3.14A/13:06 (06:39)] Формулировка теоремы о дифференцировании функциональной последовательности
          [3.14A/19:45 (07:29)] Доказательство теоремы о дифференцировании функциональной последовательности
          [3.14A/27:14 (04:20)] Формулировка следствия о дифференцировании функционального ряда
          [3.14A/31:34 (06:26)] Доказательство следствия о дифференцировании функционального ряда
    17. Степенные ряды
    • Степенной ряд: определение и теоремы Абеля о его сходимости
          [3.14A/38:00 (03:19)] Определение степенного ряда
          [3.14B/00:00 (04:18)] Формулировка первой теоремы Абеля
          [3.14B/04:18 (12:36)] Доказательство первой теоремы Абеля
          [3.14B/16:54 (04:55)] Формулировка второй теоремы Абеля
          [3.14B/21:49 (14:27)] Первый этап доказательства
          [3.14B/36:16 (04:58)] Второй этап доказательства
    • Верхний и нижний пределы последовательности
          [3.14B/41:14 (05:05)] Частичные пределы последовательности
          [3.15A/00:00 (08:30)] Верхний и нижний пределы последовательности
    • Формула Коши–Адамара для радиуса сходимости степенного ряда
          [3.15A/08:30 (04:04)] Формулировка теоремы Коши–Адамара
          [3.15A/12:34 (13:25)] Доказательство теоремы Коши–Адамара
          [3.15A/25:59 (09:37)] Примеры применения формулы Коши–Адамара
    • Свойства степенных рядов
          [3.15A/35:36 (08:26)] Непрерывность суммы степенного ряда
          [3.15B/00:00 (13:22)] Интегрирование степенного ряда
          [3.15B/13:22 (12:46)] Дифференцирование степенного ряда
    18. Ряд Тейлора
    • [3.15B/26:08 (13:22)] Вещественные аналитические функции и их разложение в ряд Тейлора
    • Вещественные аналитические функции и свойство бесконечной дифференцируемости
          [3.16A/00:00 (15:20)] Пример бесконечно дифференцируемой функции, которая не разлагается в ряд Тейлора
          [3.16A/15:20 (03:39)] Дополнительные замечания о свойствах рассмотренной функции
    • Достаточное условие существования ряда Тейлора. Разложения экспоненты, синуса и косинуса в ряд Тейлора
          [3.16A/18:59 (06:28)] Связь между существованием ряда Тейлора и поведением остаточного члена формулы Тейлора
          [3.16A/25:27 (08:54)] Теорема о достаточном условии существования ряда Тейлора
          [3.16A/34:21 (09:28)] Разложение в ряд Тейлора экспоненты, синуса и косинуса
    • [3.16B/00:00 (04:25)] Разложение степенной функции в ряд Тейлора
    • Разложения логарифма и арксинуса в ряд Тейлора
          [3.16B/04:25 (10:55)] Разложение логарифма в ряд Тейлора
          [3.16B/15:20 (13:03)] Разложение арксинуса в ряд Тейлора
          [3.16B/28:23 (06:25)] Дополнительные замечания
    19. Ряды Фурье в евклидовом пространстве
    • Вещественное евклидово пространство и его свойства
          [3.17A/00:00 (07:51)] Определение вещественного евклидова пространства
          [3.17A/07:51 (10:05)] Норма вектора и ее свойства
          [3.17A/17:56 (06:48)] Метрика и определение предела последовательности в евклидовом пространстве
    • Ряд Фурье по ортонормированной последовательности векторов в евклидовом пространстве
          [3.17A/24:44 (06:35)] Определение ортонормированной последовательности и ряда Фурье
          [3.17A/31:19 (03:28)] Формулировка экстремального свойства сумм Фурье
          [3.17A/34:47 (11:23)] Доказательство экстремального свойства сумм Фурье
          [3.17B/00:00 (06:08)] Неравенство Бесселя
    • Ряд Фурье по полной ортонормированной последовательности векторов
          [3.17B/06:08 (04:59)] Полная последовательность в евклидовом пространстве
          [3.17B/11:07 (13:40)] Равенство Парсеваля для коэффициентов Фурье по полной ортонормированной последовательности
          [3.17B/24:47 (02:38)] Равенство Парсеваля как обобщение теоремы Пифагора
          [3.17B/27:25 (08:11)] Теорема о сходимости ряда Фурье по полной ортонормированной последовательности
    20. Ряды Фурье в пространстве интегрируемых функций
    • Евклидово пространство интегрируемых функций
          [3.18A/00:00 (07:21)] Определение евклидова пространства интегрируемых функций
          [3.18A/07:21 (07:46)] Способы обеспечить выполнение аксиомы, связанной с нулевым скалярным произведением
          [3.18A/15:07 (01:07)] Норма в пространстве интегрируемых функций
    • Построение ортонормированной последовательности интегрируемых функций
          [3.18A/16:14 (08:26)] Последовательность тригонометрических функций и доказательство ее ортогональности
          [3.18A/24:40 (07:23)] Нормировка полученной последовательности тригонометрических функций
          [3.18A/32:03 (08:49)] Ортонормированная последовательность функций для произвольного сегмента
    • Построение формального ряда Фурье для интегрируемых функций
          [3.18B/00:00 (08:57)] Коэффициенты Фурье и ряд Фурье для интегрируемых функций
          [3.18B/08:57 (09:54)] Другой вариант представления ряда Фурье
    • Сходимость ряда Фурье в среднеквадратичном в случае периодических непрерывных функций
          [3.18B/18:51 (08:15)] Теоремы Вейерштрасса о равномерной аппроксимации
          [3.18B/27:06 (13:15)] Сходимость ряда Фурье для непрерывных периодических функций
    • Сходимость ряда Фурье в среднеквадратичном в случае кусочно-непрерывных функций
          [3.19A/00:00 (02:51)] Формулировка теоремы об аппроксимации кусочно-непрерывной функции
          [3.19A/02:51 (12:07)] Первый этап доказательства
          [3.19A/14:58 (06:33)] Второй этап доказательства
          [3.19A/21:31 (06:13)] Третий этап доказательства
          [3.19A/27:44 (07:41)] Сходимость ряда Фурье для кусочно-непрерывных функций
    • [3.19A/35:25 (04:58)] Поточечная сходимость ряда Фурье
    • Равномерная сходимость ряда Фурье
          [3.19B/00:00 (05:26)] Формулировка теоремы о равномерной сходимости ряда Фурье
          [3.19B/05:26 (13:35)] Первый этап доказательства
          [3.19B/19:01 (04:48)] Второй этап доказательства
          [3.19B/23:49 (10:00)] Третий этап доказательства
    • [3.19B/33:49 (06:32)] Скорость убывания коэффициентов Фурье для дифференцируемых функций

    10. Improper integrals: definition and properties
    • [3.8B/00:00 (04:13)] Tasks leading to the notion of an improper integral
    • Definitions of an improper integral
          [3.8B/04:13 (10:02)] Improper integral over a semi-infinite interval
          [3.8B/14:15 (09:12)] Improper integral for an unbounded function and the definition of an improper integral in the general case
    • Properties of improper integrals
          [3.8B/23:27 (05:12)] Linearity of the improper integral with respect to the integrand
          [3.8B/28:39 (05:47)] Additivity of an improper integral with respect to the integration interval and change of variables in an improper integral
          [3.8B/34:26 (07:19)] Integration formula by parts for improper integrals. Theorem on the coincidence of the integral in the proper and improper sense
    11. Absolute and conditional convergence of improper integrals
    • [3.9A/00:00 (10:08)] Cauchy criterion for the convergence of an improper integral
    • [3.9A/10:08 (06:46)] Absolute convergence of improper integrals
    • Properties of improper integrals of non-negative functions
          [3.9A/16:54 (10:00)] Criterion for the convergence of improper integrals of non-negative functions
          [3.9A/26:54 (10:35)] The comparison test
          [3.9A/37:29 (04:25)] Corollary of the comparison test
          [3.9B/00:00 (08:23)] Examples of using the comparison test
    • [3.9B/08:23 (15:56)] Conditional convergence of improper integrals
    • Dirichlet's test for conditional convergence of an improper integral
          [3.9B/24:19 (06:36)] Formulation of Dirichlet's test
          [3.9B/30:55 (13:14)] Proof of Dirichlet's test
    • [3.10A/00:00 (11:35)] Integrals with several singularities
    12. Numerical series
    • Numerical series: definition and examples
          [3.10A/11:35 (05:39)] Definition of a numerical series
          [3.10A/17:14 (10:21)] Example of a numerical series: the sum of the elements of a geometric progression
    • Cauchy criterion for the convergence of a numerical series and a necessary condition for its convergence
          [3.10A/27:35 (07:57)] Cauchy criterion for the convergence of a numerical series
          [3.10A/35:32 (04:58)] A necessary condition for the convergence of a numerical series
    • Absolutely convergent numerical series and arithmetic properties of convergent numerical series
          [3.10A/40:30 (01:44), 3.10B/00:00 (03:09)] Absolutely convergent numerical series
          [3.10B/03:09 (08:19)] Arithmetic properties of convergent numerical series
    13. Convergence tests for numerical series with non-negative terms
    • Comparison test
          [3.10B/11:28 (07:21)] Criterion for convergence of numerical series with non-negative terms
          [3.10B/18:49 (06:49)] Comparison test for numerical series
    • Integral test of convergence
          [3.10B/25:38 (03:55)] Formulation of the integral test of convergence
          [3.10B/29:33 (07:07)] Initial stage of the proof
          [3.10B/36:40 (07:13)] The final stage of the proof
          [3.11A/00:00 (04:49)] An example of applying the integral test of convergence
    • D'Alembert's test and Cauchy's test for convergence of a numerical series
          [3.11A/04:49 (04:01)] Formulation of D'Alembert's test
          [3.11A/08:50 (08:54)] Proof of D'Alembert's test
          [3.11A/17:44 (07:23)] The limit D'Alembert test
          [3.11A/25:07 (02:48)] An example of applying D'Alembert's test
          [3.11A/27:55 (07:22)] Cauchy's test
          [3.11A/35:17 (06:06)] An example of applying Cauchy's test
    14. Alternating series and conditional convergence
    • Alternating series
          [3.11B/00:00 (04:22)] Definition of conditional convergence, alternating series, and the Leibniz series
          [3.11B/04:22 (11:11)] Theorem on the convergence of the Leibniz series
          [3.11B/15:33 (14:19)] Estimation of the Leibniz series in terms of its partial sums
    • Dirichlet's test and Abel's test for conditional convergence of a numerical series
          [3.11B/29:52 (04:29), 3.12A/00:00 (03:18)] Dirichlet's test for conditional convergence of a numerical series
          [3.12A/03:18 (11:41)] Examples of applying Dirichlet's test
          [3.12A/14:59 (06:03)] The proof of the absence of absolute convergence
          [3.12A/21:02 (06:58)] Abel's test for conditional convergence of a numerical series
    • [3.12A/28:00 (07:07)] Additional remarks on absolutely and conditionally convergent series
    15. Functional sequences and series
    • Pointwise and uniform convergence of a functional sequence and a functional series
          [3.12A/35:07 (10:52)] Functional sequence and functional series, their pointwise convergence
          [3.12B/00:00 (03:57)] Uniform convergence of the functional sequence
          [3.12B/03:57 (10:28)] Criterion for uniform convergence of a functional sequence in terms of the supremum limit
          [3.12B/14:25 (14:47)] Examples of applying the criterion for uniform convergence of a functional sequence
          [3.12B/29:12 (05:20)] Uniform convergence of a functional series and a criterion for uniform convergence of a series in terms of the supremum limit
    • Cauchy criterion for the uniform convergence of a functional sequence and a functional series
          [3.12B/34:32 (04:54)] Formulation of the Cauchy criterion for uniform convergence of a functional sequence
          [3.13A/00:00 (10:53)] Proof of the Cauchy criterion for uniform convergence of a functional sequence
          [3.13A/10:53 (03:41)] Cauchy criterion for uniform convergence of a functional series
    • Tests of uniform convergence of functional series
          [3.13A/14:34 (12:01)] Weierstrass test
          [3.13A/26:35 (07:50)] Dirichlet's test and Abel's test
    16. Properties of uniformly converging sequences and series
    • Continuity of the uniform limit
          [3.13A/34:25 (09:02)] Formulation of the theorem on the continuity of the uniform limit
          [3.13B/00:00 (13:55)] Proof of the theorem on the continuity of the uniform limit
          [3.13B/13:55 (09:55)] Corollary for functional series
    • Integration of functional sequences and series
          [3.13B/23:50 (03:57)] Formulation of the theorem on the integration of a functional sequence
          [3.13B/27:47 (06:14)] Proof of the theorem on the integration of a functional sequence
          [3.14A/00:00 (08:28)] Formulation of the corollary on the integration of a functional series
          [3.14A/08:28 (04:38)] Proof of the corollary on the integration of a functional series
    • Differentiation of functional sequences and series
          [3.14A/13:06 (06:39)] Formulation of the theorem on the differentiation of a functional sequence
          [3.14A/19:45 (07:29)] Proof of the theorem on the differentiation of a functional sequence
          [3.14A/27:14 (04:20)] Formulation of the corollary on the differentiation of a functional series
          [3.14A/31:34 (06:26)] Proof of the corollary on the differentiation of a functional series
    17. Power series
    • Power series: definition and Abel's theorems on its convergence
          [3.14A/38:00 (03:19)] Definition of a power series
          [3.14B/00:00 (04:18)] Formulation of the first Abel theorem
          [3.14B/04:18 (12:36)] Proof of the first Abel theorem
          [3.14B/16:54 (04:55)] Formulation of the second Abel theorem
          [3.14B/21:49 (14:27)] First stage of the proof
          [3.14B/36:16 (04:58)] Second stage of the proof
    • Limit inferior and limit superior of a sequence
          [3.14B/41:14 (05:05)] Partial limits of a sequence
          [3.15A/00:00 (08:30)] Limit superior and limit inferior of a sequence
    • Cauchy–Hadamard formula for the radius of convergence of a power series
          [3.15A/08:30 (04:04)] Formulation of the Cauchy–Hadamard theorem
          [3.15A/12:34 (13:25)] Proof of the Cauchy–Hadamard theorem
          [3.15A/25:59 (09:37)] Examples of application of the Cauchy–Hadamard formula
    • Properties of power series
          [3.15A/35:36 (08:26)] Continuity of the sum of a power series
          [3.15B/00:00 (13:22)] Integration of a power series
          [3.15B/13:22 (12:46)] Differentiation of a power series
    18. Taylor series
    • [3.15B/26:08 (13:22)] Real analytic functions and their expansions into Taylor series
    • Real analytic functions and the property of infinite differentiability
          [3.16A/00:00 (15:20)] An example of an infinitely differentiable function that does not expand into a Taylor series
          [3.16A/15:20 (03:39)] Additional remarks on the properties of the considered function
    • Sufficient condition for the existence of a Taylor series.Expansions of exponent, sine, and cosine into a Taylor series
          [3.16A/18:59 (06:28)] Relationship between the existence of a Taylor series and the behavior of the remainder term of Taylor's formula
          [3.16A/25:27 (08:54)] Sufficient condition for the existence of a Taylor series
          [3.16A/34:21 (09:28)] Taylor series expansion of exponent, sine, and cosine
    • [3.16B/00:00 (04:25)] Taylor series expansion of a power function
    • Taylor series expansions of the logarithm and arcsine
          [3.16B/04:25 (10:55)] Taylor series expansion of the logarithm
          [3.16B/15:20 (13:03)] Taylor series expansion of the arcsine
          [3.16B/28:23 (06:25)] Additional remarks
    19. Fourier series in Euclidean space
    • Real Euclidean space and its properties
          [3.17A/00:00 (07:51)] Definition of a real Euclidean space
          [3.17A/07:51 (10:05)] Norm of a vector and its properties
          [3.17A/17:56 (06:48)] Metric and definition of the limit of a sequence in Euclidean space
    • Fourier series with respect to an orthonormal sequence of vectors in Euclidean space
          [3.17A/24:44 (06:35)] Definition of an orthonormal sequence and Fourier series
          [3.17A/31:19 (03:28)] Formulation of the extremal property of Fourier sums
          [3.17A/34:47 (11:23)] Proof of the extremal property of Fourier sums
          [3.17B/00:00 (06:08)] Bessel's inequality
    • Fourier series over a complete orthonormal sequence of vectors
          [3.17B/06:08 (04:59)] Complete sequence in Euclidean space
          [3.17B/11:07 (13:40)] Parseval's identity for Fourier coefficients with respect to a complete orthonormal sequence
          [3.17B/24:47 (02:38)] Interpretation of Parseval's identity as a generalization of the Pythagorean theorem
          [3.17B/27:25 (08:11)] Theorem on the convergence of a Fourier series with respect to a complete orthonormal sequence
    20. Fourier series in the space of integrable functions
    • Euclidean space of integrable functions
          [3.18A/00:00 (07:21)] Definition of the Euclidean space of integrable functions
          [3.18A/07:21 (07:46)] Ways to satisfy the axiom associated with the zero scalar product
          [3.18A/15:07 (01:07)] Norm in the space of integrable functions
    • Constructing an orthonormal sequence of integrable functions
          [3.18A/16:14 (08:26)] A sequence of trigonometric functions and a proof of its orthogonality
          [3.18A/24:40 (07:23)] Normalization of the obtained sequence of trigonometric functions
          [3.18A/32:03 (08:49)] Orthonormal sequence of functions for an arbitrary segment
    • Constructing a formal Fourier series for integrable functions
          [3.18B/00:00 (08:57)] Fourier coefficients and Fourier series for integrable functions
          [3.18B/08:57 (09:54)] Another representation of the Fourier series
    • Convergence of the Fourier series in mean square in the case of periodic continuous functions
          [3.18B/18:51 (08:15)] Weierstrass theorems on uniform approximation
          [3.18B/27:06 (13:15)] Convergence of the Fourier series for continuous periodic functions
    • Convergence of the Fourier series in mean square in the case of piecewise continuous functions
          [3.19A/00:00 (02:51)] Formulation of the theorem on the approximation of a piecewise continuous function
          [3.19A/02:51 (12:07)] First stage of the proof
          [3.19A/14:58 (06:33)] Second stage of the proof
          [3.19A/21:31 (06:13)] Third stage of the proof
          [3.19A/27:44 (07:41)] Convergence of the Fourier series for piecewise continuous functions
    • [3.19A/35:25 (04:58)] Pointwise convergence of the Fourier series
    • Uniform convergence of the Fourier series
          [3.19B/00:00 (05:26)] Formulation of the theorem on the uniform convergence of the Fourier series
          [3.19B/05:26 (13:35)] First stage of the proof
          [3.19B/19:01 (04:48)] Second stage of the proof
          [3.19B/23:49 (10:00)] Third stage of the proof
    • [3.19B/33:49 (06:32)] Decreasing rate of Fourier coefficients for differentiable functions

    • Лекция 1. Декартово произведение

      Содержание лекции 1. Попарно не пересекающиеся множества, разбиение множества, декартово произведение множеств: определения. Примеры декартовых произведений. Свойства декартовых произведений: критерий того, что декартово произведение является пустым множеством; вложение и пересечение декартовых произведений; разность декартовых произведений с двумя сомножителями и в общем случае; разбиение декартова произведения.

    • Лекция 2. Клетки и клеточные множества

      Содержание лекции 2. Клетка в R и ее мера: определение и свойства. Клетка в R^n и ее мера: определение и свойства. Клеточное множество в R^n и его мера: определения и теорема о корректности определения меры клеточного множества. Свойства клеточных множеств: объединение двух непересекающихся (и произвольного числа попарно непересекающихся) клеточных множеств; декартово произведение клеточных множеств; разность двух клеток как клеточное множество; разность, пересечение и объединение двух клеточных множеств; соотношения между мерами множеств A и B, если A вложено в B.

    • Лекция 3. Измеримые по Жордану множества

      Содержание лекции 3. Свойства клеточных множеств (окончание): оценка для меры объединения конечного числа клеточных множеств. Множество, измеримое по Жордану, и его мера: определение и доказательство корректности определения меры. Свойства множества жордановой меры нуль: критерий для множества жордановой меры нуль, объединение множеств жордановой меры нуль, подмножество множества жордановой меры нуль. Критерий измеримости множества (множество ограничено, его граница имеет жорданову меру нуль; без доказательства). Свойства множеств, измеримых по Жордану: пересечение, разность, объединение измеримых множеств; оценка для меры объединения множеств, измеримых по Жордану.

    • Лекция 4. Определение кратного интеграла

      Содержание лекции 4. Оценка для меры объединения множеств, измеримых по Жордану (окончание доказательства). Пример неизмеримого по Жордану множества. Разбиение измеримого множества, диаметр множества, мелкость разбиения: определения. Интегральная сумма функции f, определенной на измеримом множестве G, соответствующая некоторому разбиению и выборке: определения. Кратный интеграл Римана функции f по измеримому множеству G в R^n: определение и связь данного определения при n = 1 с определением интеграла от функции, заданной на отрезке. Пример, показывающий, что при n > 1 неограниченная функция может быть интегрируемой. Функции, существенно неограниченные на измеримом множестве.

    • Лекция 5. Свойства кратного интеграла и классы интегрируемых функций

      Содержание лекции 5. Верхняя и нижняя суммы Дарбу: определения; два критерия интегрируемости ограниченной функции в терминах сумм Дарбу. Свойства кратного интеграла: интеграл от постоянной функции; интеграл от неотрицательной функции; линейность интеграла относительно подынтегральной функции; сравнение кратных интегралов; теорема о среднем для кратного интеграла от непрерывной функции; конечная аддитивность интеграла по области интегрирования, интегрируемость произведения и модуля функции. Теорема об интегрируемости функции, непрерывной на компактном измеримом множестве. Теорема об интегрируемости функции, ограниченной на компактном измеримом множестве и имеющей множество точек разрыва меры нуль.

    • Лекция 6. Сведение кратных интегралов к повторным

      Содержание лекции 6. Следствие из предыдущей теоремы, в котором отсутствует условие компактности измеримого множества G. Цилиндр в R^n: определение и лемма о цилиндре с измеримым основанием. Теорема о том, что график интегрируемой функции имеет меру нуль, следствие об измеримости области, граница которой составлена из графиков непрерывных функций. Теорема о сведении двойного интеграла по прямоугольнику к повторному интегралу.

    • Лекция 7. Замена переменных в кратном интеграле

      Содержание лекции 7. Следствия из теоремы о сведении кратного интеграла к повторному (о равенстве повторных интегралов по прямоугольнику для интегрируемой и для непрерывной функции). Элементарная область в R^2 относительно оси y: определение и теорема о сведении двойного интеграла по элементарной области к повторному интегралу. Элементарная область в R^(n+1): определения и теорема о сведении кратного интеграла по элементарной области к повторному интегралу (без доказательства). Вывод формулы замены переменных вида y = phi(x) для интеграла по неориентированному отрезку в случае взаимно-однозначной дифференцируемой функции phi. Диффеоморфизм из R^n в R^n, его матрица Якоби и якобиан: определения. Формула замены переменных y = phi(x) для кратного интеграла в случае диффеоморфизма phi (без доказательства). Применения формулы замены переменных: случай линейного (в том числе ортогонального) преобразования. 

    • Лекция 8. Определение и свойства несобственного интеграла

      Содержание лекции 8. Применения формулы замены переменных (продолжение): преобразование подобия; геометрический смысл определителя матрицы A как ориентированного объема параллелепипеда, определяемого линейно независимыми вектор-столбцами данной матрицы. Полярные координаты (rho, phi) в R^2: связь с декартовыми координатами (x, y), значение якобиана и формула замены переменных. Сферические координаты (rho, phi, theta) в R^3: связь с декартовыми координатами (x, y, z), значение якобиана и формула замены переменных. Несобственный интеграл по полубесконечному промежутку и по конечному промежутку от неограниченной функции: определения. Общее определение несобственного интеграла с особенностью в правом (левом) конце. Арифметические свойства несобственного интеграла: линейность относительно подынтегральной функции и аддитивность относительно промежутка интегрирования. Замена переменных и интегрирование по частям в несобственном интеграле. Совпадение собственного и несобственного интеграла в случае, если функция интегрируема на промежутке в обычном смысле.

    • Лекция 9. Абсолютная и условная сходимость несобственных интегралов

      Содержание лекции 9. Критерий Коши сходимости несобственного интеграла. Абсолютно сходящиеся несобственные интегралы: определение, лемма о том, что абсолютно сходящийся интеграл является сходящимся. Несобственные интегралы от неотрицательных функций: критерий сходимости, признак сравнения и следствие из него (следствие без доказательства), примеры. Условно сходящиеся несобственные интегралы: определение и пример. Признак Дирихле условной сходимости несобственного интеграла.

    • Лекция 10. Определение и свойства числового ряда, признаки сходимости

      Содержание лекции 10. Интегралы с несколькими особенностями. Сходимость несобственного интеграла в смысле главного значения по Коши: определение и пример. Числовой ряд, частичная сумма ряда, сходимость числового ряда: определения и пример (сумма геометрической прогрессии). Критерий Коши сходимости числового ряда, следствие (необходимое условие сходимости). Абсолютно сходящиеся числовые ряды: определение, лемма о том, что абсолютно сходящийся рад сходится. Арифметические свойства сходящихся рядов. Критерий сходимости неотрицательных числовых рядов (в терминах ограниченности сверху частичных сумм) и признак сравнения. Интегральный признак сходимости неотрицательных числовых рядов.

    • Лекция 11. Признаки сходимости (продолжение), знакопеременные ряды

      Содержание лекции 11. Примеры использования интегрального признака сходимости. Признак сходимости Даламбера, следствие (признак Даламбера в предельной форме). Признак сходимости Коши, следствие (признак Коши в предельной форме). Знакочередующийся ряд (ряд Лейбница): определение, теорема о сходимости, оценка скорости сходимости ряда Лейбница. Условная сходимость числовых рядов. Признак сходимости Дирихле (без доказательства).

    • Лекция 12. Функциональные последовательности и ряды

      Содержание лекции 12. Признак сходимости Дирихле: примеры использования. Признак сходимости Абеля. Теоремы о перестановках членов для абсолютно и условно сходящихся рядов. Функциональная последовательность и функциональный ряд, их сходимость в точке и на множестве: определения. Равномерная сходимость функциональной последовательности и ряда: определения. Критерий равномерной сходимости последовательности f_n(x) в терминах предела супремума разности |f_n(x) – f(x)| (где f(x) — предельная функция последовательности), пример применения и следствие (критерий равномерной сходимости функционального ряда). Критерий Коши равномерной сходимости функциональной последовательности.

    • Лекция 13. Свойства функциональных последовательностей и рядов

      Содержание лекции 13. Критерий Коши равномерной сходимости функциональной последовательности (продолжение), следствие (критерий Коши равномерной сходимости функционального ряда). Признаки равномерной сходимости функциональных рядов: признак Вейерштрасса, признаки Дирихле и Абеля, примеры. Теорема о непрерывности предельной функции равномерно сходящейся функциональной последовательности непрерывных функций, следствие о непрерывности суммы равномерно сходящегося функционального ряда с непрерывными членами. Теорема об интегрировании равномерно сходящейся функциональной последовательности непрерывных функций.

    • Лекция 14. Степенные ряды

      Содержание лекции 14. Теорема об интегрировании равномерно сходящейся функциональной последовательности непрерывных функций (повторение); следствие о почленной интегрируемости равномерно сходящегося функционального ряда с непрерывными членами. Теорема о дифференцировании функциональной последовательности; следствие о почленной дифференцируемости равномерно сходящегося функционального ряда с дифференцируемыми членами. Степенной ряд: определение. Теоремы об абсолютной и равномерной сходимости степенного ряда и о существовании его радиуса сходимости.

    • Лекция 15. Свойства степенных рядов

      Содержание лекции 15. Верхний и нижний пределы числовой последовательности: определение. Теорема Коши-Адамара о нахождении радиуса сходимости степенного ряда (без доказательства), доказательство формулы для радиуса сходимости в случае обычного предела, примеры применения формулы (в том числе в ситуации, когда обычного предела не существует). Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости степенного ряда на его интервале сходимости. Вещественная аналитическая функция: определение. Бесконечная дифференцируемость вещественной аналитической функции и формулы для коэффициентов степенного ряда, в который она разлагается. Ряд Тейлора: определение.

    • Лекция 16. Ряд Тейлора

      Содержание лекции 16. Ряд Тейлора: определение. Пример, показывающий, что бесконечной дифференцируемости недостаточно для разложения функции в ряд Тейлора. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа (повторение). Теорема о разложении в ряд Тейлора функции, все производные которой равномерно ограничены, следствия (разложение в ряд Тейлора функций e^x. sin(x). cos(x)). Разложение в ряд Тейлора функции (1 + x)^alpha при |x| < 1 (без обоснования сходимости). Разложение в ряд Тейлора функции ln(1 + x) при |x| < 1, полученное на основе почленного интегрирования ряда Тейлора для функции 1/(1 + x). Разложение в ряд Тейлора функции arcsin(x) при |x| < 1.

    • Лекция 17. Ряд Фурье в евклидовом пространстве

      Содержание лекции 17. Вещественное евклидово пространство E: определение, включающее аксиомы скалярного произведения. Норма вектора в E: определение. Неравенство Коши-Буняковского, неравенство треугольника. Метрика в E и сходимость последовательностей векторов в E ("сходимость по норме E"): определения. Ортогональная и ортонормированная система векторов в E: определение. Коэффициенты Фурье, частичная сумма Фурье и формальный ряд Фурье вектора евклидова пространства по ортонормированной системе: определения. Теорема об экстремальном свойстве частичных сумм Фурье, следствие (неравенство Бесселя). Полная система в евклидовом пространстве E: определение. Равенство Парсеваля для коэффициентов Фурье по полной ортонормированной системе в E; следствие о сходимости по норме E ряда Фурье в случае полной ортонормированной системы.

    • Лекция 18. Ряд Фурье в пространстве интегрируемых функций

      Содержание лекции 18. Скалярное произведение на классах эквивалентности функций, интегрируемых по Риману; евклидово пространство R([–Pi, Pi]): определения. Тригонометрическая система функций {(2Pi)^(–1/2), (Pi)^(–1/2)*cos(kx), (Pi)^(–1/2)*sin(kx), k = 1, 2, ...}, доказательство ее ортонормированности в R([–Pi, Pi]). Ортонормированные тригонометрические системы функций в R([–l, l]) и R([a, b]). Коэффициенты Фурье, формальный ряд Фурье по тригонометрической системе функций, неравенство Бесселя (два представления). Теорема о равномерной аппроксимации непрерывной 2Pi-периодической функции тригонометрическими полиномами, теорема о равномерной аппроксимации непрерывной на сегменте функции алгебраическими полиномами (обе теоремы без доказательства).

    • Лекция 19. Свойства рядов Фурье для различных классов функций

      Содержание лекции 19. Теорема об аппроксимации в R([–Pi, Pi]) кусочно-непрерывной функции тригонометрическими полиномами. Следствие о сходимости по норме R([–Pi, Pi]) ("сходимости в среднеквадратичном") ряда Фурье кусочно-непрерывной функции. Кусочно-непрерывно-дифференцируемая функция: определение. Теорема о поточечной сходимости ряда Фурье кусочно-непрерывно-дифференцируемой функции (без доказательства). Теорема о равномерной сходимости ряда Фурье непрерывной 2Pi-периодической функции с кусочно-непрерывной производной. Асимптотическое свойство коэффициентов ряда Фурье функции, имеющей n производных.

    • Лекция 20. Интегралы, зависящие от параметра

      Содержание лекции 20. Равномерная по параметру x сходимость функции f(x, y) к предельной функции phi(x) при у -> y0: определение, критерий Коши равномерной сходимости по параметру (без доказательства). Теорема о предельном переходе под знаком собственного интеграла; следствие о непрерывности собственного интеграла с фиксированными пределами от непрерывной функции, определенной на компакте. Теорема о непрерывности собственного интеграла с переменными пределами, зависящего от параметра. Замечание об интегрировании интеграла, зависящего от параметра. Теорема о дифференцировании собственного интеграла с фиксированными пределами, зависящего от параметра.

    • Лекция 21. Собственные и несобственные интегралы, зависящие от параметра

      Содержание лекции 21. Теорема о дифференцировании собственного интеграла с фиксированными пределами, зависящего от параметра (окончание доказательства). Теорема о дифференцировании собственного интеграла с переменными дифференцируемыми пределами от дифференцируемой функции. Равномерная сходимость несобственного интеграла, зависящего от параметра: определение, критерий Коши (без доказательства), признак Вейерштрасса (без доказательства), примеры. Лемма о перестановке предельных переходов.

    • Лекция 22. Свойства несобственных интегралов, зависящих от параметра

      Содержание лекции 22. Теорема о предельном переходе под знаком несобственного интеграла; следствие о непрерывности равномерно сходящегося (по параметру y) несобственного интеграла от непрерывной функции, определенной по параметру y на компакте. Теорема о собственном интегрировании несобственного интеграла, зависящего от параметра. Теорема о перестановке несобственных интегралов. Теорема о дифференцировании несобственного интеграла, зависящего от параметра.

    • Лекция 23. Функции Эйлера

      Содержание лекции 23. Гамма-функция Г(x): определение в виде несобственного интеграла, непрерывность гамма-функции Г(x) для x > 0. Бесконечная дифференцируемость гамма-функции. Основное соотношение для гамма-функции (Г(x + 1) = x Г(x)) и его следствия: связь гамма-функции и факториала, поведение гамма-функции Г(x) при x -> +0, определение гамма-функции для x < 0. Бета-функция В(x, y): определение в виде несобственного интеграла, непрерывность бета-функции В(x, y) для x > 0, y > 0. Свойства бета-функции: (1) В(x, y) = В(y, x); (2) В(x, 1 – x) = Pi / sin(x*Pi) при 0 < x < 1; (3) B(x, y) = Г(x) Г(y) / Г(x + y) (свойства 2 и 3 без доказательства), следствие (значение интеграла Пуассона). Применение бета-функции для вычисления интегралов от тригонометрических функций вида (sin phi)^(a–1) * (cos phi)^(b–1), a > 0, b > 0, на промежутке от 0 до Pi/2, следствие (значение интеграла от функции (tg phi)^c при |c| < 1 на промежутке от 0 до Pi/2).