Тематический план

  • Общее

    Институт математики, механики и компьютерных наук им. И. И. Воровича

    Направление "Прикладная математика и информатика"

    2018/2019 уч. г., 2 курс, 2 семестр

    Лектор к. ф.-м. н., доцент кафедры алгебры и дискретной математики М. Э. Абрамян


    • Лекция 1. Комплексные числа и функции комплексного переменного

      Содержание лекции 1. Комплексное число: определение, вещественная и мнимая часть комплексного числа. Сложение и умножение комплексных чисел. Поле комплексных чисел C. Операция комплексного сопряжения: определение и свойства. Геометрическая интерпретация комплексных чисел. Модуль и аргумент комплексного числа, главное значение аргумента, тригонометрическая форма комплексного числа. Открытый круг в C, открытые и замкнутые множества в C, граница множества в C. Предел последовательности комплексных чисел. Связное множество и область в C. Функция комплексного переменного: определение. Предел функции комплексного переменного: определение и свойства. Непрерывность функции комплексного переменного в точке: определение и свойства. Примеры функций комплексного переменного: f(z)=z, полином, рациональная функция. Комплексный числовой ряд: определение, сходящиеся и абсолютно сходящиеся ряды. Теорема об умножении комплексных рядов.

    • Лекция 2. Комплексные функциональные ряды. Комплексные функции exp, sin, cos

      Содержание лекции 2. Равномерная сходимость комплексной функциональной последовательности и ряда. Признак Вейерштрасса равномерной сходимости комплексного функционального ряда. Теорема о непрерывности равномерно сходящегося комплексного функционального ряда с непрерывными членами. Комплексный степенной ряд и ассоциированный с ним вещественный ряд. Теорема о сходимости комплексного степенного ряда, круг сходимости комплексного степенного ряда. Примеры комплексных степенных рядов. Теорема о сходимости суммы и произведения степенных рядов. Комплексная экспонента exp(z), комплексные тригонометрические функции (синус sin(z) и косинус cos(z)), определение в виде степенных рядов и свойства: существование во всей комплексной плоскости, соотношение exp(z1+z2) = exp(z1)*exp(z2), связь функций exp, cos, sin (формула Эйлера), выражение синуса и косинуса через экспоненту, свойства четности для синуса и косинуса, периодичность экспоненты, формулы для ее модуля и аргумента, формулы для синуса и косинуса суммы и разности.

    • Лекция 3. Комплексные функции exp, sin, cos (окончание). Многозначные функции

      Содержание лекции 3. Периодичность синуса и косинуса, формулы приведения, основное тригонометрическое тождество. Отсутствие нулей у экспоненты, нули синуса и косинуса. Комплексные гиперболические функции: определение, связь с комплексными тригонометрическими функциями, аналог основного тригонометрического тождества для гиперболических функций. Вещественная и мнимая части синуса, модуль синуса, рельеф синуса. Многозначные функции как функции, обратные к однозначной функции. Выделение однозначных ветвей многозначной функции. Пример многозначной функции: комплексный корень степени n (z^(1/n)), его однозначные ветви. Переход с одной ветви на другую, точки ветвления.

    • Лекция 4. Комплексный логарифм

      Содержание лекции 4. Комплексный логарифм Ln z как функция, обратная к комплексной экспоненте. Многозначность логарифма, примеры вычисления значений логарифма. Смысл соотношения Ln(a*b) = Ln a + Ln b. Парадокс Бернулли и его объяснение. Однозначные ветви логарифма, главное значение логарифма ln z. Точки ветвления логарифма как пример точек ветвления бесконечного порядка. Понятие о римановых поверхностях, построение римановых поверхностей для функций z^(1/n) и Ln z.

    • Лекция 5. Степенная, показательная и другие функции. Условия Коши-Римана

      Содержание лекции 5. Общее определение операции возведения в степень для комплексных чисел: a^b = exp(b*Ln(a)), доказательство того, что в общем случае соотношение a^b * a^с = a^(b+с) не имеет места. Функция e^z и ее связь с ранее введенной функцией exp(z). Степенная z^b и показательная a^z функции, число однозначных ветвей этих функций и их точки ветвления. Обратные тригонометрические функции: Arcsin z, Arccos z, Arctg z, вывод формулы для арккосинуса. Два эквивалентных определения дифференцируемой в точке функции комплексного переменного. Непрерывность дифференцируемой функции. Критерий дифференцируемости в точке функции комплексного переменного в терминах условий Коши-Римана, следствие.

    • Лекция 6. Аналитические функции. Интегралы в комплексной плоскости

      Содержание лекции 6. Примеры недифференцируемых функций: f(x + iy) = x – iy, g(z) = |z|. Аналитическая функция: определение. Простейшие свойства аналитических функций (без доказательства): арифметические свойства, производная суперпозиции, производная обратной функции. Примеры аналитических функций: exp(z), sin(z), Ln(z), a^z, z^b. Интеграл от комплекснозначной функции: определение и свойства (без доказательства). Гладкий путь в комплексной плоскости: определение. Замена параметра для гладкого пути: определение, теорема о том, что пути, полученные путем замены параметра, образуют класс эквивалентности. Ориентированная гладкая кривая в комплексной плоскости: определение. Простая кривая, замкнутая кривая, кусочно-гладкая кривая: определения. Кривая, противоположно ориентированная к данной кривой: определение. Примеры ориентированных кривых. Криволинейный интеграл по ориентированной гладкой кривой: определение.