Общее
Институт математики, механики и компьютерных наук им. И. И. Воровича
Направление "Прикладная математика и информатика"
2018/2019 уч. г., 2 курс, 2 семестр
Лектор к. ф.-м. н., доцент кафедры алгебры и дискретной математики М. Э. Абрамян
Институт математики, механики и компьютерных наук им. И. И. Воровича
Направление "Прикладная математика и информатика"
2018/2019 уч. г., 2 курс, 2 семестр
Лектор к. ф.-м. н., доцент кафедры алгебры и дискретной математики М. Э. Абрамян
Содержание лекции 1. Комплексное число: определение, вещественная и мнимая часть комплексного числа. Сложение и умножение комплексных чисел. Поле комплексных чисел C. Операция комплексного сопряжения: определение и свойства. Геометрическая интерпретация комплексных чисел. Модуль и аргумент комплексного числа, главное значение аргумента, тригонометрическая форма комплексного числа. Открытый круг в C, открытые и замкнутые множества в C, граница множества в C. Предел последовательности комплексных чисел. Связное множество и область в C. Функция комплексного переменного: определение. Предел функции комплексного переменного: определение и свойства. Непрерывность функции комплексного переменного в точке: определение и свойства. Примеры функций комплексного переменного: f(z)=z, полином, рациональная функция. Комплексный числовой ряд: определение, сходящиеся и абсолютно сходящиеся ряды. Теорема об умножении комплексных рядов.
Содержание лекции 2. Равномерная сходимость комплексной функциональной последовательности и ряда. Признак Вейерштрасса равномерной сходимости комплексного функционального ряда. Теорема о непрерывности равномерно сходящегося комплексного функционального ряда с непрерывными членами. Комплексный степенной ряд и ассоциированный с ним вещественный ряд. Теорема о сходимости комплексного степенного ряда, круг сходимости комплексного степенного ряда. Примеры комплексных степенных рядов. Теорема о сходимости суммы и произведения степенных рядов. Комплексная экспонента exp(z), комплексные тригонометрические функции (синус sin(z) и косинус cos(z)), определение в виде степенных рядов и свойства: существование во всей комплексной плоскости, соотношение exp(z1+z2) = exp(z1)*exp(z2), связь функций exp, cos, sin (формула Эйлера), выражение синуса и косинуса через экспоненту, свойства четности для синуса и косинуса, периодичность экспоненты, формулы для ее модуля и аргумента, формулы для синуса и косинуса суммы и разности.
Содержание лекции 3. Периодичность синуса и косинуса, формулы приведения, основное тригонометрическое тождество. Отсутствие нулей у экспоненты, нули синуса и косинуса. Комплексные гиперболические функции: определение, связь с комплексными тригонометрическими функциями, аналог основного тригонометрического тождества для гиперболических функций. Вещественная и мнимая части синуса, модуль синуса, рельеф синуса. Многозначные функции как функции, обратные к однозначной функции. Выделение однозначных ветвей многозначной функции. Пример многозначной функции: комплексный корень степени n (z^(1/n)), его однозначные ветви. Переход с одной ветви на другую, точки ветвления.
Содержание лекции 4. Комплексный логарифм Ln z как функция, обратная к комплексной экспоненте. Многозначность логарифма, примеры вычисления значений логарифма. Смысл соотношения Ln(a*b) = Ln a + Ln b. Парадокс Бернулли и его объяснение. Однозначные ветви логарифма, главное значение логарифма ln z. Точки ветвления логарифма как пример точек ветвления бесконечного порядка. Понятие о римановых поверхностях, построение римановых поверхностей для функций z^(1/n) и Ln z.
Содержание лекции 5. Общее определение операции возведения в степень для комплексных чисел: a^b = exp(b*Ln(a)), доказательство того, что в общем случае соотношение a^b * a^с = a^(b+с) не имеет места. Функция e^z и ее связь с ранее введенной функцией exp(z). Степенная z^b и показательная a^z функции, число однозначных ветвей этих функций и их точки ветвления. Обратные тригонометрические функции: Arcsin z, Arccos z, Arctg z, вывод формулы для арккосинуса. Два эквивалентных определения дифференцируемой в точке функции комплексного переменного. Непрерывность дифференцируемой функции. Критерий дифференцируемости в точке функции комплексного переменного в терминах условий Коши-Римана, следствие.
Содержание лекции 6. Примеры недифференцируемых функций: f(x + iy) = x – iy, g(z) = |z|. Аналитическая функция: определение. Простейшие свойства аналитических функций (без доказательства): арифметические свойства, производная суперпозиции, производная обратной функции. Примеры аналитических функций: exp(z), sin(z), Ln(z), a^z, z^b. Интеграл от комплекснозначной функции: определение и свойства (без доказательства). Гладкий путь в комплексной плоскости: определение. Замена параметра для гладкого пути: определение, теорема о том, что пути, полученные путем замены параметра, образуют класс эквивалентности. Ориентированная гладкая кривая в комплексной плоскости: определение. Простая кривая, замкнутая кривая, кусочно-гладкая кривая: определения. Кривая, противоположно ориентированная к данной кривой: определение. Примеры ориентированных кривых. Криволинейный интеграл по ориентированной гладкой кривой: определение.
Содержание лекции 7. Криволинейный интеграл по ориентированной гладкой кривой: определение, доказательство корректности определения (независимость значения интеграла от выбора параметризации кривой). Свойство интеграла по противоположно ориентированной кривой. Интеграл по кусочно-гладкой кривой: определение. Оценка модуля интеграла по кусочно-гладкой кривой. Определение первообразной функции, теорема Ньютона-Лейбница, следствие о равенстве нулю интеграла по замкнутой кусочно-гладкой кривой для функции, имеющей первообразную в области. Достаточное условие существования первообразной в терминах значения интеграла по произвольной замкнутой кусочно-гладкой кривой. Вписанная в кривую ломаная, расстояние между точкой и множеством, delta-окрестность множества: определения. Две теоремы об аппроксимации: теорема об аппроксимации интеграла от непрерывной функции по кусочно-гладкой кривой интегралом по вписанной в нее ломаной и теорема об аппроксимации интеграла по границе области интегралом по замкнутой ломаной, лежащей внутри области (без доказательства).
Содержание лекции 8. Односвязная область: определение, примеры. Интегральная теорема Коши (о том, что для аналитической функции в односвязной области интеграл по любому замкнутому кусочно-гладкому контуру равен нулю). Пример, показывающий, что условие односвязности области является существенным (функция 1/z в C\{0}). Следствие 1 (вариант теоремы Коши для интеграла по кусочно-гладкой границе односвязной области при условии, что функция является аналитической в области и непрерывной в ее замыкании). Следствие 2 (вариант теоремы Коши для интеграла по границе области, если граница состоит из конечного числа кусочно-гладких замкнутых кривых, ориентированных надлежащим образом). Интегральная формула Коши.
Содержание лекции 9. Теорема об интегрировании равномерно сходящейся последовательности непрерывных функций (без доказательства), следствие о почленном интегрировании равномерно сходящегося ряда. Теорема о почленном дифференцировании степенного ряда внутри его круга сходимости. Теорема о разложении аналитической функции в степенной ряд, следствие о радиусе сходимости этого ряда, формула для коэффициентов ряда, следствие о бесконечной дифференцируемости аналитической функции, представление аналитической функции в виде ряда Тейлора. Теорема Морера (критерий аналитичности в терминах равенства нулю интеграла по любому замкнутому контуру односвязной области). Теорема Вейерштрасса для последовательности аналитических функций (о том, что если последовательность аналитических функций равномерно сходится на любом компакте, содержащемся в области, то предельная функция является аналитической в области), следствие для рядов. Теорема о нулях аналитической функции.
Содержание лекции 10. Теорема о нулях аналитической функции (повторение). Представление аналитической функции в окрестности изолированного нуля, следствие об отсутствии других нулей в окрестности изолированного нуля. Теорема о сгущении нулей (аналитическая функция, имеющая точку сгущения нулей, тождественно равна нулю в своей области определения), следствия (теорема единственности, принцип аналитического продолжения). Примеры применения теоремы единственности: 1) существование не более одной аналитической функции, совпадающей с требуемой функцией вещественного переменного на вещественном промежутке; 2) распространение соотношений, доказанных для вещественного промежутка, на комплексную плоскость. Пример ситуации, когда теорема единственности неприменима (построение аналитической функции f такой, что f(n*Pi) = 0, n - целое). Ряд Лорана: определение. Теорема о разложении функции, аналитической в кольце, в ряд Лорана, формула для коэффициентов ряда Лорана.
Содержание лекции 11. Пример разложения в ряд Лорана. Разложение в ряд Лорана в окрестности бесконечно удаленной точки. Особые точки однозначного характера: определение, примеры особых точек, не являющихся особыми точками однозначного характера. Классификация особых точек в терминах существования предела, примеры. Регулярная и главная часть ряда Лорана: определения. Неравенство Коши для коэффициентов ряда Лорана. Критерий того, что особая точка является устранимой, в терминах разложения в ряд Лорана, следствие (о том, что особая точка ограниченной функции является устранимой). Критерий того, что особая точка является полюсом, в терминах разложения в ряд Лорана; следствие о представлении функции в окрестности полюса кратности m. Критерий того, что особая точка является существенно особой точкой, в терминах разложения в ряд Лорана.
Содержание лекции 12. Теоремы Сохоцкого и Пикара о свойствах существенно особых точек (теорема Пикара без доказательства). Вычет аналитической функции в точке: определение в терминах ряда Лорана и в терминах интеграла по контуру. Пример вычисления вычета (вычет функции exp(1/z) в точке 0). Две формулы для вычисления вычета в случае простого полюса, пример. Формула для вычисления вычета в случае кратного полюса. Простейший вариант основной теоремы теории вычетов (случай ограниченной односвязной области). Вычет в бесконечно удаленной точке: определение, теорема о вычете в бесконечно удаленной точке (для функции, аналитической во всей комплексной плоскости, за исключением конечного числа особых точек однозначного характера).
Содержание лекции 13. Общий вариант основной теоремы теории вычетов. Вычисление вещественных тригонометрических интегралов с применением теории вычетов, пример: интеграл от 0 до 2*Pi от функции 1/(1 – 2*a*cos(phi) + a^2), параметр a принадлежит интервалу (0, 1). Вычисление вещественных несобственных интегралов от рациональных функций, примеры: интеграл от –бесконечности до +бесконечности от функции (x^2 + 1)^(–4), интеграл от 0 до +бесконечности от функции 1/(1 + x^(2*n)), параметр n - положительное целое число.
Содержание лекции 14. Вычисление вещественных несобственных интегралов от рациональных функций (окончание примера: интеграл от 0 до +бесконечности от функции 1/(1 + x^(2*n)), параметр n - положительное целое число). Лемма Жордана и вычисление интегралов Фурье, примеры: интеграл от –бесконечности до +бесконечности от функции cos(5x)*(x – 1)/(x^2 – 2*x + 5), интеграл от 0 до +бесконечности от функции sin(alpha*x)/x, alpha - ненулевое вещественное число.
Содержание лекции 15. Теорема об интегрировании логарифмической производной (значение интеграла по контуру Gamma от функции f'(z)/f(z), если f аналитична в односвязной области за исключением конечного числа полюсов). Следствие о приращении аргумента функции f при обходе контура Gamma (принцип аргумента), его геометрическая интерпретация, примеры. Теорема Руше (о числе нулей функций f(z) и f(z)+g(z) в односвязной области, если на границе области модуль f строго больше модуля g, а f и g аналитические функции без особых точек). Доказательство основной теоремы алгебры с использованием теоремы Руше. Пример использования теоремы Руше для определения числа корней полинома в области (полином z^9-6*z^4+z^3-2*z^2+1 в единичном круге). Применение принципа аргумента для локализации и приближенного вычисления корней уравнения f(z)=0.