Тематический план

  • Общее

    Институт математики, механики и компьютерных наук им. И. И. Воровича

    Направление "Прикладная математика и информатика"

    2018/2019 уч. г., 2 курс, 2 семестр

    Лектор к. ф.-м. н., доцент кафедры алгебры и дискретной математики М. Э. Абрамян


    • Лекция 1. Комплексные числа и функции комплексного переменного

      Содержание лекции 1. Комплексное число: определение, вещественная и мнимая часть комплексного числа. Сложение и умножение комплексных чисел. Поле комплексных чисел C. Операция комплексного сопряжения: определение и свойства. Геометрическая интерпретация комплексных чисел. Модуль и аргумент комплексного числа, главное значение аргумента, тригонометрическая форма комплексного числа. Открытый круг в C, открытые и замкнутые множества в C, граница множества в C. Предел последовательности комплексных чисел. Связное множество и область в C. Функция комплексного переменного: определение. Предел функции комплексного переменного: определение и свойства. Непрерывность функции комплексного переменного в точке: определение и свойства. Примеры функций комплексного переменного: f(z)=z, полином, рациональная функция. Комплексный числовой ряд: определение, сходящиеся и абсолютно сходящиеся ряды. Теорема об умножении комплексных рядов.

    • Лекция 2. Комплексные функциональные ряды. Комплексные функции exp, sin, cos

      Содержание лекции 2. Равномерная сходимость комплексной функциональной последовательности и ряда. Признак Вейерштрасса равномерной сходимости комплексного функционального ряда. Теорема о непрерывности равномерно сходящегося комплексного функционального ряда с непрерывными членами. Комплексный степенной ряд и ассоциированный с ним вещественный ряд. Теорема о сходимости комплексного степенного ряда, круг сходимости комплексного степенного ряда. Примеры комплексных степенных рядов. Теорема о сходимости суммы и произведения степенных рядов. Комплексная экспонента exp(z), комплексные тригонометрические функции (синус sin(z) и косинус cos(z)), определение в виде степенных рядов и свойства: существование во всей комплексной плоскости, соотношение exp(z1+z2) = exp(z1)*exp(z2), связь функций exp, cos, sin (формула Эйлера), выражение синуса и косинуса через экспоненту, свойства четности для синуса и косинуса, периодичность экспоненты, формулы для ее модуля и аргумента, формулы для синуса и косинуса суммы и разности.

    • Лекция 3. Комплексные функции exp, sin, cos (окончание). Многозначные функции

      Содержание лекции 3. Периодичность синуса и косинуса, формулы приведения, основное тригонометрическое тождество. Отсутствие нулей у экспоненты, нули синуса и косинуса. Комплексные гиперболические функции: определение, связь с комплексными тригонометрическими функциями, аналог основного тригонометрического тождества для гиперболических функций. Вещественная и мнимая части синуса, модуль синуса, рельеф синуса. Многозначные функции как функции, обратные к однозначной функции. Выделение однозначных ветвей многозначной функции. Пример многозначной функции: комплексный корень степени n (z^(1/n)), его однозначные ветви. Переход с одной ветви на другую, точки ветвления.

    • Лекция 4. Комплексный логарифм

      Содержание лекции 4. Комплексный логарифм Ln z как функция, обратная к комплексной экспоненте. Многозначность логарифма, примеры вычисления значений логарифма. Смысл соотношения Ln(a*b) = Ln a + Ln b. Парадокс Бернулли и его объяснение. Однозначные ветви логарифма, главное значение логарифма ln z. Точки ветвления логарифма как пример точек ветвления бесконечного порядка. Понятие о римановых поверхностях, построение римановых поверхностей для функций z^(1/n) и Ln z.

    • Лекция 5. Степенная, показательная и другие функции. Условия Коши-Римана

      Содержание лекции 5. Общее определение операции возведения в степень для комплексных чисел: a^b = exp(b*Ln(a)), доказательство того, что в общем случае соотношение a^b * a^с = a^(b+с) не имеет места. Функция e^z и ее связь с ранее введенной функцией exp(z). Степенная z^b и показательная a^z функции, число однозначных ветвей этих функций и их точки ветвления. Обратные тригонометрические функции: Arcsin z, Arccos z, Arctg z, вывод формулы для арккосинуса. Два эквивалентных определения дифференцируемой в точке функции комплексного переменного. Непрерывность дифференцируемой функции. Критерий дифференцируемости в точке функции комплексного переменного в терминах условий Коши-Римана, следствие.

    • Лекция 6. Аналитические функции. Интегралы в комплексной плоскости

      Содержание лекции 6. Примеры недифференцируемых функций: f(x + iy) = x – iy, g(z) = |z|. Аналитическая функция: определение. Простейшие свойства аналитических функций (без доказательства): арифметические свойства, производная суперпозиции, производная обратной функции. Примеры аналитических функций: exp(z), sin(z), Ln(z), a^z, z^b. Интеграл от комплекснозначной функции: определение и свойства (без доказательства). Гладкий путь в комплексной плоскости: определение. Замена параметра для гладкого пути: определение, теорема о том, что пути, полученные путем замены параметра, образуют класс эквивалентности. Ориентированная гладкая кривая в комплексной плоскости: определение. Простая кривая, замкнутая кривая, кусочно-гладкая кривая: определения. Кривая, противоположно ориентированная к данной кривой: определение. Примеры ориентированных кривых. Криволинейный интеграл по ориентированной гладкой кривой: определение.

    • Лекция 7. Интегралы в комплексной плоскости (окончание)

      Содержание лекции 7. Криволинейный интеграл по ориентированной гладкой кривой: определение, доказательство корректности определения (независимость значения интеграла от выбора параметризации кривой). Свойство интеграла по противоположно ориентированной кривой. Интеграл по кусочно-гладкой кривой: определение. Оценка модуля интеграла по кусочно-гладкой кривой. Определение первообразной функции, теорема Ньютона-Лейбница, следствие о равенстве нулю интеграла по замкнутой кусочно-гладкой кривой для функции, имеющей первообразную в области. Достаточное условие существования первообразной в терминах значения интеграла по произвольной замкнутой кусочно-гладкой кривой. Вписанная в кривую ломаная, расстояние между точкой и множеством, delta-окрестность множества: определения. Две теоремы об аппроксимации: теорема об аппроксимации интеграла от непрерывной функции по кусочно-гладкой кривой интегралом по вписанной в нее ломаной и теорема об аппроксимации интеграла по границе области интегралом по замкнутой ломаной, лежащей внутри области (без доказательства).

    • Лекция 8. Интегральная теорема Коши и формула Коши

      Содержание лекции 8. Односвязная область: определение, примеры. Интегральная теорема Коши (о том, что для аналитической функции в односвязной области интеграл по любому замкнутому кусочно-гладкому контуру равен нулю). Пример, показывающий, что условие односвязности области является существенным (функция 1/z в C\{0}). Следствие 1 (вариант теоремы Коши для интеграла по кусочно-гладкой границе односвязной области при условии, что функция является аналитической в области и непрерывной в ее замыкании). Следствие 2 (вариант теоремы Коши для интеграла по границе области, если граница состоит из конечного числа кусочно-гладких замкнутых кривых, ориентированных надлежащим образом). Интегральная формула Коши.

    • Лекция 9. Разложение аналитической функции в ряд Тейлора

      Содержание лекции 9. Теорема об интегрировании равномерно сходящейся последовательности непрерывных функций (без доказательства), следствие о почленном интегрировании равномерно сходящегося ряда. Теорема о почленном дифференцировании степенного ряда внутри его круга сходимости. Теорема о разложении аналитической функции в степенной ряд, следствие о радиусе сходимости этого ряда, формула для коэффициентов ряда, следствие о бесконечной дифференцируемости аналитической функции, представление аналитической функции в виде ряда Тейлора. Теорема Морера (критерий аналитичности в терминах равенства нулю интеграла по любому замкнутому контуру односвязной области). Теорема Вейерштрасса для последовательности аналитических функций (о том, что если последовательность аналитических функций равномерно сходится на любом компакте, содержащемся в области, то предельная функция является аналитической в области), следствие для рядов. Теорема о нулях аналитической функции.

    • Лекция 10. Нули аналитической функции. Ряд Лорана

      Содержание лекции 10. Теорема о нулях аналитической функции (повторение). Представление аналитической функции в окрестности изолированного нуля, следствие об отсутствии других нулей в окрестности изолированного нуля. Теорема о сгущении нулей (аналитическая функция, имеющая точку сгущения нулей, тождественно равна нулю в своей области определения), следствия (теорема единственности, принцип аналитического продолжения). Примеры применения теоремы единственности: 1) существование не более одной аналитической функции, совпадающей с требуемой функцией вещественного переменного на вещественном промежутке; 2) распространение соотношений, доказанных для вещественного промежутка, на комплексную плоскость. Пример ситуации, когда теорема единственности неприменима (построение аналитической функции f такой, что f(n*Pi) = 0, n - целое). Ряд Лорана: определение. Теорема о разложении функции, аналитической в кольце, в ряд Лорана, формула для коэффициентов ряда Лорана.

    • Лекция 11. Ряд Лорана (окончание). Особые точки

      Содержание лекции 11. Пример разложения в ряд Лорана. Разложение в ряд Лорана в окрестности бесконечно удаленной точки. Особые точки однозначного характера: определение, примеры особых точек, не являющихся особыми точками однозначного характера. Классификация особых точек в терминах существования предела, примеры. Регулярная и главная часть ряда Лорана: определения. Неравенство Коши для коэффициентов ряда Лорана. Критерий того, что особая точка является устранимой, в терминах разложения в ряд Лорана, следствие (о том, что особая точка ограниченной функции является устранимой). Критерий того, что особая точка является полюсом, в терминах разложения в ряд Лорана; следствие о представлении функции в окрестности полюса кратности m. Критерий того, что особая точка является существенно особой точкой, в терминах разложения в ряд Лорана.

    • Лекция 12. Свойства существенно особых точек. Теория вычетов

      Содержание лекции 12. Теоремы Сохоцкого и Пикара о свойствах существенно особых точек (теорема Пикара без доказательства). Вычет аналитической функции в точке: определение в терминах ряда Лорана и в терминах интеграла по контуру. Пример вычисления вычета (вычет функции exp(1/z) в точке 0). Две формулы для вычисления вычета в случае простого полюса, пример. Формула для вычисления вычета в случае кратного полюса. Простейший вариант основной теоремы теории вычетов (случай ограниченной односвязной области). Вычет в бесконечно удаленной точке: определение, теорема о вычете в бесконечно удаленной точке (для функции, аналитической во всей комплексной плоскости, за исключением конечного числа особых точек однозначного характера).

    • Лекция 13. Теория вычетов (окончание). Применение теории вычетов

      Содержание лекции 13. Общий вариант основной теоремы теории вычетов. Вычисление вещественных тригонометрических интегралов с применением теории вычетов, пример: интеграл от 0 до 2*Pi от функции 1/(1 – 2*a*cos(phi) + a^2), параметр a принадлежит интервалу (0, 1). Вычисление вещественных несобственных интегралов от рациональных функций, примеры: интеграл от –бесконечности до +бесконечности от функции (x^2 + 1)^(–4), интеграл от 0 до +бесконечности от функции 1/(1 + x^(2*n)), параметр n - положительное целое число.

    • Лекция 14. Применение теории вычетов (окончание)

      Содержание лекции 14. Вычисление вещественных несобственных интегралов от рациональных функций (окончание примера: интеграл от 0 до +бесконечности от функции 1/(1 + x^(2*n)), параметр n - положительное целое число). Лемма Жордана и вычисление интегралов Фурье, примеры: интеграл от –бесконечности до +бесконечности от функции cos(5x)*(x – 1)/(x^2 – 2*x + 5), интеграл от 0 до +бесконечности от функции sin(alpha*x)/x, alpha - ненулевое вещественное число.

    • Лекция 15. Принцип аргумента и теорема Руше

      Содержание лекции 15. Теорема об интегрировании логарифмической производной (значение интеграла по контуру Gamma от функции f'(z)/f(z), если f аналитична в односвязной области за исключением конечного числа полюсов). Следствие о приращении аргумента функции f при обходе контура Gamma (принцип аргумента), его геометрическая интерпретация, примеры. Теорема Руше (о числе нулей функций f(z) и f(z)+g(z) в односвязной области, если на границе области модуль f строго больше модуля g, а f и g аналитические функции без особых точек). Доказательство основной теоремы алгебры с использованием теоремы Руше. Пример использования теоремы Руше для определения числа корней полинома в области (полином z^9-6*z^4+z^3-2*z^2+1 в единичном круге). Применение принципа аргумента для локализации и приближенного вычисления корней уравнения f(z)=0.

    • Материалы к экзамену