clc, clear
%Назначили символьные переменные
%% Первый способ
syms x y;
%%
diff(x^2,2)
%% Второй способ
f = sym('cos(x) + cos(y)');
%% Преобразования символьных выражений
%% раскрытие скобок expand
syms x y;
f = (x+2)*(x+3) + (y+5);
f = expand(f) 
%% Функция упрощения simplify
syms x y;
f = (x*y^3 + 2*y + x^4*y)/(y);
f = simplify(f)
%% Функция разложения на множители factor
syms x;
f = (x+4)^4 + x^2 + (x-2)^3;
f = factor(f)
%% Вычисление значения символьных выражений
syms x;
f = (x^4 + 17*x^3 + 91*x^2 + 268*x) / 248;
f = subs(f, x, 3) %заменяем все x на 3
f = double(f)
%% Если у функции несколько переменных, то придется использовать subs несколько раз
syms x y;
f = (x+4)^4 + x^2 + (y-2)^3;
f = double(subs(subs(f, x, 2), y, 3))
%% Символьное дифференцирование в Matlab
f = x^4 + 17*x^3 + 91*x^2 + 268*x + 248;
diff(f)
%% Функция от нескольких переменных
syms x y;
f = 2 * x ^ 5 + x * y + y^3; 
diff(f, 'x')
diff(f, 'y')
%% Символьное интегрирование
% Символьное интегрирование в Matlab выполняется оператором int
f = 4*x^3 + 51*x^2 + 182*x + 268;
int(f)
%% Расчет определенного интеграла
f = 4*x^3 + 51*x^2 + 182*x + 268;
int(f, 0, 4) %определенный интеграл на промежутке от 0 до 4
%% построение графика функции
h=ezplot('x*sin(x)')
h.set('LineWidth',2)
%% задание промежутка
h=ezplot('x*sin(x)',[-2,2])
h.set('LineWidth',2)
h.set(Color='r')
%%
h=ezplot('cos(x)','sin(x)')%параметрический график
h.set('LineWidth',2)
%% неявно заданная функция
h=ezplot('y=sin(x^2+y^2)',[-4,4])%параметрический график
h.set('LineWidth',2)
%% разложение символьной функции в ряд тейлора
syms x
T1 = taylor(exp(x))
T2 = taylor(sin(x))
T3 = taylor(cos(x))
% изменить выходной порядок символьных полиномов
sympref('PolynomialDisplayStyle','ascend');
% Восстановить значения по умолчанию
sympref('default');
%% ExpansionPoint - точка разложения
syms x
T = taylor(log(x), x, 'ExpansionPoint', 1)
%% точка разложения - третий параметр
T = taylor(log(x), x, 1)
%% Порядок разложения
syms x
f = sin(x)/x;
T6 = taylor(f, x)
T8 = taylor(f, x, 'Order', 8)
T10 = taylor(f, x, 'Order', 10)
%% Постройте исходное выражение f 
% и его приближения T6, T8, и T10.
% Определите -
% как точность приближения зависит 
% от порядка разложения.
h=fplot([T6 T8 T10 f])
h.set('LineWidth',2)
xlim([-5 5])
grid on

legend('approximation of sin(x)/x up to O(x^6)',...
       'approximation of sin(x)/x up to O(x^8)',...
       'approximation of sin(x)/x up to O(x^{10})',...
       'sin(x)/x','Location','Best')
title('Taylor Series Expansion')
%% Для некоторых выражений относительный порядок 
% разложения обеспечивает более точные приближения.
Ta = taylor(1/(exp(x)) - exp(x) + 2*x, x, 'Order', 5)
Tr = taylor(1/(exp(x)) - exp(x) + 2*x, x, 'Order', 5, 'OrderMode', 'relative')
%% Ряд Маклорена для функций нескольких переменных
syms x y z
f = sin(x) + cos(y) + exp(z);
T = taylor(f, [x, y, z])
%% Точка разложения 
syms x y
f = y*exp(x - 1) - x*log(y);
T = taylor(f, [x, y], [1, 1], 'Order', 3)
%% Вычисление предела limit(f)
syms x h
f = sin(x)/x;
limit(f,x,0)
%%
f = (sin(x+h)-sin(x))/h;
limit(f,h,0)
%% Правые и левые пределы
syms x
f = 1/x;
limit(f,x,0,'right')
%%
limit(f,x,0,'left')
%% Поскольку предел слева не равняется пределу справа, 
% двухсторонний предел не существует. 
% В этом случае, limit возвращает NaN (не номер).
limit(f,x,0)
%%