Тематический план
-
-
Раздел 1. Основные алгебраические и дискретные структуры
Тема 1.1. Свойства и примеры структур
Линейные пространства и модули над кольцами. Односторонние и двусторонние идеалы кольца R. Примеры. Связь с R-модулями. Абелевы группы как Z-модули. Примеры. Конструкция групповой алгебры для конечной группы. Примеры. Проверка выполнения аксиом. Оператор свертки. Базис групповой алгебры. Матричное представление оператора свертки. Примеры матричного представления оператора свертки на разных групповых алгебрах (циклическая группа, диэдральная группа, группа Гейзенберга над полем Галуа, общие треугольные группы над полем Галуа).
Тема 1.2. Тензорные произведения
Алгебраическое тензорное произведение гильбертовых пространств. Топологическое тензорное произведение гильбертовых пространств. Тензорное произведение линейных операторов. Конструкция тензорного произведения модулей как фактор-группы. Примеры тензорных произведений групп. Кронекерово произведение матриц. Матрицы Адамара. Примеры и свойства. Методы построения матриц Адамара. Построение матриц Адамара методом Вильямсона. Блок-диайны и условия на их параметры. Симметричные блок-дизайны. Конечные геометрии: аффинная плоскость. Конечные геометрии: проективная плоскость. Проективная конечная геометрия.
Раздел 2. Применение алгебраических и дискретных структур в кодировании и криптографии
Тема 2.1. Применение алгебраических и дискретных структур в кодировании
Коды на некоммутативных конечных группах. Коды Бермана-Рида-Маллера. Конструкция декодирующих деревьев. Мажоритарный декодер Месси. Тензорное произведение кодов. Тензорное произведение кодов в категории модулей. Декодирование тензорных произведений кодов.
Тема 2.2. Применение алгебраических и дискретных структур в криптографии
Ортогональные латинские квадраты и их конструкции. Взаимно ортогональные латинские квадраты. Ортогональные массивы и их применение. Линейный код как ортогональный массив. Криптосистема Мак-Элиса на тензорных произведениях кодов.
Вопросы, выносимые на самостоятельное изучение
Кодовые криптосистемы в случае некоммутативных структур. Результаты о применении некоммутативных алгебраических структур в криптографии. Теория t-дизайнов и ее приложения.
-
-
Книга посвящена вопросам существования и построения комбинаторных объектов со специальными свойствами. Рассматриваются частично упорядоченные множества, графы, булевы функции, матрицы со специальными свойствами, коды, блок-дизайны, конечные геометрии, латинские квадраты, ортогональные массивы, разностные множества и др. Также рассматриваются приложения таких объектов к защите информации.
-
-
Раздел 1. Основные алгебраические и дискретные структуры
1. Матрицы Адамара. Примеры и свойства.
2. Методы построения матриц Адамара. Построение матриц Адамара методом Вильямсона.
3. Применение преобразования Адамара в помехоустойчивом кодировании.
4. Теорема Лагранжа о четырех квадратах и ее приложения.
5. Блок-диайны и условия на их параметры. Симметричные блок-дизайны.
6. Конечные геометрии. Проективная конечная геометрия.
7. Применение проективной геометрии в стеганографии.
8. Ортогональные латинские квадраты и их конструкции.
9. Латинские квадраты и их применение в борьбе со стираниями.
10.Взаимно ортогональные латинские квадраты.
11.Ортогональные массивы и их применение.
Раздел 2. Применение алгебраических и дискретных структур в кодировании и криптографии
1. Линейный код как ортогональный массив.
2. Группа аффинных преобразований и коды.
3. Конечная дискретная группа Гейзенберга и коды.
4. Диэдральная группа и коды.
5. Классическая криптосистема Мак-Элиса.
6. Криптосистема Мак-Элиса на тензорных произведениях кодов.
7. Криптосистема Мак-Элиса на диэдральной группе.
8. Криптосистема Мак-Элиса на группе Гейзенберга.
9. Кодовые множества с большими кодовыми расстояниями.
10. Современное состояние постквантовой криптографии.
Подготовка и обсуждение докладов в течение прохождения каждого раздела оценивается максимально 10 баллами. При наличии недостатков оценка пропорционально снижается.
-
1. Для конечной группы Гейзенберга над полем Галуа построить групповую алгебру, оператор свертки и его матрицу. Мощность поля Галуа и размерность группы Гейзенберга определяются в зависимости от номера варианта.
2. Для конечной диэдральной группы построить групповую алгебру, оператор свертки и его матрицу. Мощность поля Галуа и размерность диэдральной группы определяются в зависимости от номера варианта.
3. Для конечной аффинной группы над полем Галуа построить групповую алгебру, оператор свертки и его матрицу. Мощность поля Галуа и размерность аффинной группы определяются в зависимости от номера варианта.
Критерии оценки:
Выполнение индивидуального задания оценивается 8 баллами в случае отсутствия ошибок. При наличии ошибок оценка пропорционально снижается.
-
Раздел 1 «Основные алгебраические и дискретные структуры»
1. Линейные пространства и модули над кольцами. Примеры.
2. Односторонние и двусторонние идеалы кольца R. Примеры. Связь с R-модулями. Примеры.
3. Абелевы группы как Z-модули. Примеры.
4. Конструкция групповой алгебры для конечной группы. Примеры. Проверка выполнения аксиом.
5. Оператор свертки. Базис групповой алгебры. Матричное представление оператора свертки. Примеры матричного представления оператора свертки на разных групповых алгебрах (циклическая группа, диэдральная группа, группа Гейзенберга над полем Галуа, общие треугольные группы над полем Галуа).
6. Алгебраическое тензорное произведение гильбертовых пространств. Топологическое тензорное произведение гильбертовых пространств. Тензорное произведение линейных операторов.
7. Конструкция тензорного произведения модулей как фактор-группы. Примеры тензорных произведений групп.
8. Кронекерово произведение матриц.
9. Матрицы Адамара. Примеры и свойства.
10. Методы построения матриц Адамара. Построение матриц Адамара методом Вильямсона.
11. Блок-диайны и условия на их параметры.
12. Симметричные блок-дизайны.
13. Конечные геометрии: аффинная плоскость.
14. Конечные геометрии: проективная плоскость.
15. Проективная конечная геометрия.
Раздел 2 «Применение алгебраических и дискретных структур в кодировании и криптографии»
1. Коды на некоммутативных конечных группах
2. Коды Бермана-Рида-Маллера.
3. Конструкция декодирующих деревьев.
4. Мажоритарный декодер Месси.
5. Тензорное произведение кодов.
6. Тензорное произведение кодов в категории модулей.
7. Декодирование тензорных произведений кодов.
8. Ортогональные латинские квадраты и их конструкции.
9. Взаимно ортогональные латинские квадраты.
10. Ортогональные массивы и их применение.
11. Линейный код как ортогональный массив.
12. Криптосистема Мак-Элиса на тензорных произведениях кодов.
2. Критерии оценки
Ответ оценивается 16 баллами в случае отсутствия ошибок. При наличии ошибок оценка пропорционально снижается.
-
1. Линейные пространства и модули над кольцами. Примеры.
2. Односторонние и двусторонние идеалы кольца R. Примеры. Связь с R-модулями. Примеры.
3. Абелевы группы как Z-модули. Примеры.
4. Конструкция групповой алгебры для конечной группы. Примеры. Проверка выполнения аксиом.
5. Оператор свертки. Базис групповой алгебры. Матричное представление оператора свертки. Примеры матричного представления оператора свертки на разных групповых алгебрах (циклическая группа, диэдральная группа, группа Гейзенберга над полем Галуа, общие треугольные группы над полем Галуа).
6. Алгебраическое тензорное произведение гильбертовых пространств. Топологическое тензорное произведение гильбертовых пространств. Тензорное произведение линейных операторов.
7. Конструкция тензорного произведения модулей как фактор-группы. Примеры тензорных произведений групп.
8. Кронекерово произведение матриц.
9. Матрицы Адамара. Примеры и свойства.
10.Методы построения матриц Адамара. Построение матриц Адамара методом Вильямсона.
11.Блок-диайны и условия на их параметры.
12.Симметричные блок-дизайны.
13.Конечные геометрии: аффинная плоскость.
14.Конечные геометрии: проективная плоскость.
15.Проективная конечная геометрия.
16.Коды на некоммутативных конечных группах
17.Коды Бермана-Рида-Маллера.
18.Конструкция декодирующих деревьев.
19.Мажоритарный декодер Месси.
20.Тензорное произведение кодов.
21.Тензорное произведение кодов в категории модулей.
22.Декодирование тензорных произведений кодов.
23.Ортогональные латинские квадраты и их конструкции.
24.Взаимно ортогональные латинские квадраты.
25.Ортогональные массивы и их применение.
26.Линейный код как ортогональный массив.
27.Криптосистема Мак-Элиса на тензорных произведениях кодов.
Критерии оценки
Билет содержит 2 вопроса. Ответ на каждый вопрос из билета оценивается по 15-ти бальной шкале; за ответы на все дополнительные вопросы студент может получить максимум 10 баллов.