Динамика механических систем

Вариант 1.

Рассмотреть задачу об антиплоских колебаниях слоя, состоящего из двух материалов. Поле перемещений имеет вид:
\[ \left\{ \begin{array}{l} u_1=u_2=0,\\ u_3({\bf x},t)=u(x_1,x_2)e^{-i\omega t}, \end{array} \right. \] где \(\omega\) - частота колебаний. Слой имеет толщину \(H\). Слой состоит из двух материалов. Пусть \(0<h<H\). Если \(0<x_2\leq h\), то материал слоя имеет параметры \(\mu_1,\,\rho_1\). Если \(h<x_2\leq H\), то параметры слоя - \(\mu_2,\,\rho_2\). 

Уравнения колебаний имеют вид:\[ \left\{ \begin{array}{ll} \mu_1\left(u_{,11}+u_{,22}\right)+\rho_1\omega^2 u=0, & \mbox{при } 0\leq x_2\leq h,\\ \mu_2\left(u_{,11}+u_{,22}\right)+\rho_2\omega^2 u=0, & \mbox{при } h< x_2\leq H. \end{array} \right. \] На верхней поверхности слоя при \(x_2=H\) приложена касательная нагрузка:\[ \sigma_{23}=\mu_2 u_{,2}=p(x_1).\] На границе раздела двух материалов при \(x_2=h\) выполняются условия сопряжения вида \[ \left\{ \begin{array}{l} \left.u\right|_{x_2=h-0}=\left.u\right|_{x_2=h+0},\\ \left.\mu_1 u_{,2}\right|_{x_2=h-0}=\left.\mu_2 u_{,2}\right|_{x_2=h+0}, \end{array} \right. \] Нижняя поверхность слоя жёстко защемлена: \[\left.u\right|_{x_2=0}=0.\]

Задача: построить аналитическое решение задачи, используя преобразование Фурье (довести решение до интеграла Фурье)

Вариант 2.

Рассмотреть решение задачи в виде интеграла Фурье из варианта 1. Найти перемещения в слое, используя теорию вычетов. В расчетах считаем, что \(p(x_1)=\delta(x_1)\). Для отыскания вычетов следует найти однократные полюсы подынтегрального выражения (как вещественные, так и мнимые). Построить дисперсионные кривые для слоя.

Вариант 3.

Вариант 4.

Рассмотреть решение задачи в виде интеграла Фурье из варианта 3. Найти перемещения в слое используя теорию вычетов. В расчетах считаем, что \(p(x_1)=\delta(x_1)\). Для отыскания вычетов следует найти однократные полюсы подынтегрального выражения (как вещественные, так и мнимые). Построить дисперсионные кривые для слоя.

Вариант 5.

Найти интеграл в решении задачи из варианта 1, используя непосредственное численное интегрирование. В расчетах считаем, что \(p(x_1)=\delta(x_1)\). При численном отыскании интеграла воспроизвести алгоритм, описанный в Лекции 3 (ближняя зона). При отыскании интегралов по отрезкам ломаной используем квадратурную формулу Гаусса.

Рассмотрим интеграл вида \[ I=\int\limits_a^bf(x)dx. \]  Формула Гаусса-Кристоффеля имеет вид: \[ I\approx \frac{b-a}{2}\sum\limits_{k=1}^n \eta_i f(x_i)dx, \]
где \[ x_i=\frac{a+b}{2}+\frac{b-a}{2}\xi_i\]

const std::vector<double> xi{ -0.989400934991650 , -0.944575023073233, -0.865631202387832 ,
    -0.755404408355003 , -0.617876244402644 , -0.458016777657227 , -0.281603550779259, -0.950125098376374e-1 ,
    0.950125098376374e-1 ,0.281603550779259, 0.458016777657227, 0.617876244402644, 0.755404408355003,
    0.865631202387832, 0.944575023073233, 0.989400934991650 };

const std::vector<double> eta{ 0.0271524594117540, 0.0622535239386475, 0.0951585116824939 ,
    0.124628971255534, 0.149595988816577 , 0.169156519395002 , 0.182603415044922, 0.189450610455068,
    0.189450610455068, 0.18260341504492, 0.16915651939500, 0.14959598881657, 0.124628971255534,
    0.0951585116824939, 0.0622535239386475, 0.0271524594117540 };

(при отыскании интеграла по части контура, совпадающей с частью вещественной оси, делим участки контура на отрезки длины длины \(2\pi/|x_1|\), ищем интеграл по каждому из таких отрезков при помощи формулы Гаусса, и добавляем интеграл по подотрезку к общей сумме. Вычисления прекращаются, когда интеграл по очередному подотрезку не оказывается пренебрежительно малым.

Вариант 6.

Рассмотреть задачу об антиплоских колебаниях полупространства, состоящего из двух материалов. Поле перемещений имеет вид:
\[ \left\{ \begin{array}{l} u_1=u_2=0,\\ u_3({\bf x},t)=u(x_1,x_2)e^{-i\omega t}, \end{array} \right. \] где \(\omega\) - частота колебаний. Полупространство состоит из слоя толщины \(H\) и полупространства \(x_2<0\). Слой состоит из материала с параметрами \(\mu_1,\,\rho_1\). Полупространство - из материала с параметрами \(\mu_2,\,\rho_2\). 

Уравнения колебаний имеют вид:\[ \left\{ \begin{array}{ll} \mu_1\left(u_{,11}+u_{,22}\right)+\rho_1\omega^2 u=0, & \mbox{при } 0\leq x_2\leq H,\\ \mu_2\left(u_{,11}+u_{,22}\right)+\rho_2\omega^2 u=0, & \mbox{при } x_2<0. \end{array} \right. \] На верхней поверхности слоя при \(x_2=H\) приложена касательная нагрузка:\[ \sigma_{23}=\mu_1 u_{,2}=p(x_1).\] На границе раздела двух материалов при \(x_2=0\) выполняются условия сопряжения вида \[ \left\{ \begin{array}{l} \left.u\right|_{x_2=-0}=\left.u\right|_{x_2=+0},\\ \left.\mu_2 u_{,2}\right|_{x_2=-0}=\left.\mu_1 u_{,2}\right|_{x_2=+0}, \end{array} \right. \] 

Задача: построить решение задачи, используя преобразование Фурье. Численно найти интеграл Фурье (в расчетах считаем, что \(p(x_1)=\delta(x_1)\)).