Оглавление секции
-
Раздел 1. Основные алгебраические и дискретные структуры
Тема 1.1. Свойства и примеры структур
Линейные пространства и модули над кольцами. Односторонние и двусторонние идеалы кольца R. Примеры. Связь с R-модулями. Абелевы группы как Z-модули. Примеры. Конструкция групповой алгебры для конечной группы. Примеры. Проверка выполнения аксиом. Оператор свертки. Базис групповой алгебры. Матричное представление оператора свертки. Примеры матричного представления оператора свертки на разных групповых алгебрах (циклическая группа, диэдральная группа, группа Гейзенберга над полем Галуа, общие треугольные группы над полем Галуа).
Тема 1.2. Тензорные произведения
Алгебраическое тензорное произведение гильбертовых пространств. Топологическое тензорное произведение гильбертовых пространств. Тензорное произведение линейных операторов. Конструкция тензорного произведения модулей как фактор-группы. Примеры тензорных произведений групп. Кронекерово произведение матриц. Матрицы Адамара. Примеры и свойства. Методы построения матриц Адамара. Построение матриц Адамара методом Вильямсона. Блок-диайны и условия на их параметры. Симметричные блок-дизайны. Конечные геометрии: аффинная плоскость. Конечные геометрии: проективная плоскость. Проективная конечная геометрия.
Раздел 2. Применение алгебраических и дискретных структур в кодировании и криптографии
Тема 2.1. Применение алгебраических и дискретных структур в кодировании
Коды на некоммутативных конечных группах. Коды Бермана-Рида-Маллера. Конструкция декодирующих деревьев. Мажоритарный декодер Месси. Тензорное произведение кодов. Тензорное произведение кодов в категории модулей. Декодирование тензорных произведений кодов.
Тема 2.2. Применение алгебраических и дискретных структур в криптографии
Ортогональные латинские квадраты и их конструкции. Взаимно ортогональные латинские квадраты. Ортогональные массивы и их применение. Линейный код как ортогональный массив. Криптосистема Мак-Элиса на тензорных произведениях кодов.
Вопросы, выносимые на самостоятельное изучение
Кодовые криптосистемы в случае некоммутативных структур. Результаты о применении некоммутативных алгебраических структур в криптографии. Теория t-дизайнов и ее приложения.