Динамика механических систем

1. Дисперсионные волны для слоя, состоящего из двух материалов. Рассмотрим слой, занимающий область \[ \left\{(x_1,x_2):\infty < x_1<\infty,0\leq x_2 \leq H \right\}. \] Считаем, что слой находится в состоянии антиплоских колебаний  \[ \left\{ \begin{array}{l} u_1=u_2=0;\\ u_3=u\left(x_1,x_2;t\right) \end{array} \right. \] Будем считать, что слой состоит из двух материалов: при \( 0\leq x_2\leq h\) слой состоит из материала с параметрами \(\mu_1,\rho_1\), а при \( h\leq x_2\leq H\) - из материала с параметрами \( \mu_2, \rho_2 \). Ищем решение задачи в виде бегущих волн: \[ u(x_1,x_2;t)=u(x_2)e^{i\left(kx_1-\omega t\right)}. \] Считаем, что слой защемлён с обеих сторон: \[ \left.u\right|_{x_2=0}=\left.u\right|_{x_2=H}=0. \] На границе раздела между двумя средами выполняются условия сопряжения вида \[ \left\{ \begin{array}{l} \left.u\right|_{x_2=h+0}=\left.u\right|_{x_2=h-0},\\ \left.\sigma_{23}\right|_{x_2=h+0}=\left.\sigma_{23}\right|_{x_2=h-0} \end{array} \right. \]
    Задача: найти дисперсионное уравнение и построить дисперсионные кривые.
2. Найти дисперсионное уравнение и построить дисперсионные кривые для такого же слоя из варианта 1 в случае антиплоских колебаний, если граничные условия имеют вид  \[ \left.u\right|_{x_2=0}=0,\,\left.\sigma_{23}\right|_{x_2=H}=0 \] 
   
3. Найти дисперсионное уравнение и построить дисперсионные кривые для такого же слоя из варианта 1 в случае антиплоских колебаний, если граничные условия имеют вид  \[ \left.\sigma_{23}\right|_{x_2=0}=0,\,\left.\sigma_{23}\right|_{x_2=H}=0 \] 
4. Найти собственные частоты для упругого круга радиуса \( R \) в случае осесимметричных колебаний, считая, что круг заключен в жёсткую обойму. Уравнение осесимметричный колебаний имеет вид:\[ \left(\lambda+2\mu\right)\frac{\partial}{\partial r}\left[\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}(ru)\right]+\rho\omega^2u=0 \]
5. Найти собственные частоты для упругого круга в случае осесимметричных колебаний, считая, что граница круга свободна от напряжений (\( \left.\sigma_{rr}\right|_{r=R}=0 \))

Подсказка к вариантам 1-3. Удобно пользоваться безразмерными координатами, введёнными по формулам\[ x_i=H\bar x_i. \] (надчёркивание в дальнейшем можно опустить). Также удобно ввести следующие безразмерные параметры:\[ \kappa_1^2=\frac{\rho_1\omega^2 H^2}{\mu_1},\,\kappa_2^2=\frac{\rho_2\omega^2 H^2}{\mu_2} \] Дисперсионные уравнения имеют как вещественные, так и чисто мнимые корни.