Тематический план
-
Раздел 1. Свертки на конечных группах.
Тема 1.1. Циклические матрицы. Одномерное преобразование Фурье.
Определение алгебры циклических матриц. Обращение циклических матриц. Собственные числа и собственные векторы. Дискретное преобразование Фурье. Быстрое преобразование Фурье. Приведение циклической матрицы к диагональному виду.
Тема 1.2. Многомерные циклические матрицы. Многомерное преобразование Фурье.
Алгебра многомерных циклических матриц. Многомерное дискретное преобразование Фурье. спектральные свойства многомерных циклических матриц. Приведение многомерной циклической матрицы к диагональному виду.
Тема 1.3. Многомерные уравнения типа свертки.
Многомерные дискретные свертки и их свойства. Уравнения свертки в углах.
Раздел 2. Приближенные методы решения уравнений типа свертки.
Тема 2.1. Проекционные методы решения одномерных уравнений типа свертки.
Метод редукции для одномерного уравнения свертки. Критерий сходимости метода редукции.
Тема 2.2. Проекционные методы решения многомерных уравнений типа свертки.
Проекционные методы решения уравнений свертки в углах. Обратимость операторов дискретной свертки на многогранниках.
Тема 2.3. Оценка погрешностей решения.
Классификация погрешностей решения операторного уравнения. Число обусловленности оператора. Влияние числа обусловленности оператора на погрешности решения.
Раздел 3. Восстановление смазанных изображений.
Тема 3.1. Смазанные изображения. Уравнение для восстановления смазанного изображения.
Классификация смазов изображения. Уравнения смаза. Обратимость матрицы смаза.
Тема 3.2. Число обусловленности матрицы смаза.
Нахождение числа обусловленности матрицы смаза. Зависимость числа обусловленности матрицы смаза от размерности изображения и величины смаза.
Тема 3.3. Влияние числа обусловленности матрицы смаза на качество восстановления.
Зависимость качества восстановления изображения от числа обусловленности и точности оцифровки изображения. Подбор оптимальных параметров для наилучшего восстановления изображения.
Вопросы, выносимые на самостоятельное изучение
Восстановление смазанных изображений, когда величина смаза неизвестна.
-
Раздел 1. Свертки на конечных группах.
Тема 1. Алгебраические свойства свертки на группе вычетов.
Тема 2. Спектральные свойства свертки на группе вычетов.
Тема 3. Свертки на декартовом произведении групп вычетов.
Раздел 2. Приближенные методы решения уравнений типа свертки.
Тема 1. Метод редукции для одномерного уравнения свертки.
Тема 2. Метод редукции для многомерных уравнений свертки.
Тема 3. Обратимость операторов свертки на многогранниках.
Раздел 3. Восстановление смазанных изображений.
Тема 1. Методы оцифровки изображений.
Тема 2. Классификация смазов изображения и методы их устранения.
Тема 3. Влияние глубины цветности на восстановление смазанных изображений.
-
Раздел 1. Свертки на конечных группах.
Тема 1. Тензорное произведение матриц.
Тема 2. Быстрое преобразование Фурье.
Тема 3. Свойства операторов смаза.
Раздел 2. Приближенные методы решения уравнений типа свертки.
Тема 1. Метод редукции для уравнения Винера-Хопфа.
Тема 2. Методы решения больших систем уравнений с теплицевыми матрицами.
Тема 3. Методы решения уравнений с двумерными теплицевыми матрицами.
Раздел 3. Восстановление смазанных изображений.
Тема 1. Исправление геометрических искажений при смазе.
Тема 2. Влияние величины смаза на восстановление изображения.
Тема 3. Асимптотика числа обусловленности матрицы смаза.
-
1. Программа экзамена
Циклические матрицы. Матрица циклического сдвига. Собственные числа и собственные векторы матрицы циклического сдвига. Дискретное преобразование Фурье. Обратимость циклической матрицы. Собственные числа и собственные векторы циклической матрицы. Алгебра циклических матриц. Свертка конечных векторов. Оператор свертки.
Приложение циклических матриц к восстановлению изображений. Матрица смаза. Обратимость матрицы смаза. Число обусловленности матрицы смаза.
Свертки на группе целых чисел. Свертка векторов из пространства суммируемых последовательностей. Свойства свертки. Алгебра Винера. Оператор свертки. Норма оператора свертки. Символ оператора свертки и его свойства. Обратимость оператора свертки.
Операторы Винера-Хопфа. Определение оператора Винера-Хопфа. Треугольные операторы свертки. Индекс функции. Факторизация единичного оператора, возмущенного малым по норме оператором. Факторизация финитного оператора свертки. Факторизация оператора свертки. Обратимость операторов Винера-Хопфа.
Метод редукции для уравнения Винера-Хопфа. Лемма об обратимости оператора. Две теоремы об обратимости усеченных операторов свертки.
Многомерные операторы свертки. Определение многомерного оператора свертки. Обратимость операторов свертки в полупространствах. Функция затухания и ее свойства. Функция затухания оператора свертки. Две теоремы об операторах свертки на многоугольниках. Теорема о близости решений усеченного уравнения свертки и уравнения свертки по всей плоскости. Теорема о близости решений усеченного уравнения свертки и уравнения свертки в полуплоскости.
2. Образцы экзаменационных билетов
ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ № 1
1. Матрица циклического сдвига. Собственные числа и собственные векторы матрицы циклического сдвига.
2. Обратимость операторов Винера-Хопфа.
ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ № 2
1. Дискретное преобразование Фурье. Обратимость циклической матрицы. Собственные числа и собственные векторы циклической матрицы
2. Факторизация единичного оператора, возмущенного малым по норме оператором. Факторизация финитного оператора свертки. Факторизация оператора свертки
3. Критерии оценки
Экзамен проводится в устной форме. Ответ на экзамене оценивается исходя из сорока баллов.
За каждый вопрос можно получить до 20 баллов, количество баллов зависит от полноты ответа:
16-20 баллов - ответ дан в полной форме, вместе со всеми необходимыми доказательствами;
11-15 баллов - ответ дан в полной форме, в приведенных доказательствах содержатся незначительные погрешности;
6-10 баллов - ответ дан в полной форме, в приведенных доказательствах содержатся существенные погрешности;
6 баллов - ответ дан в сокращенной форме, определения и формулировки теорем приведены правильно, доказательства отсутствуют;
1-5 баллов - ответ дан в сокращенной форме, определения и формулировки теорем содержат погрешности, доказательства отсутствуют.
За дополнительные вопросы даются до 10 баллов (5 баллов за дополнительный вопрос, количество баллов зависит от полноты ответа).
По результатам промежуточной аттестации выставляется итоговая сумма баллов. Оценка «отлично» выставляется, если итоговая сумма не меньше 85 баллов. Оценка «хорошо» выставляется, если итоговая сумма баллов в пределах от 71 до 84. Оценка «удовлетворительно» выставляется, если итоговая сумма в пределах от 60 до 70.
Если итоговая сумма меньше 60 баллов, то выставляется оценка «неудовлетворительно».