Материалы к экзамену

1. Программа экзамена

Циклические матрицы. Матрица циклического сдвига. Собственные числа и собственные векторы матрицы циклического сдвига. Дискретное преобразование Фурье. Обратимость циклической матрицы. Собственные числа и собственные векторы циклической матрицы. Алгебра циклических матриц. Свертка конечных векторов. Оператор свертки.

Приложение циклических матриц к восстановлению изображений. Матрица смаза. Обратимость матрицы смаза. Число обусловленности матрицы смаза.

Свертки на группе целых чисел. Свертка векторов из пространства суммируемых последовательностей. Свойства свертки. Алгебра Винера. Оператор свертки. Норма оператора свертки. Символ оператора свертки и его свойства. Обратимость оператора свертки.

Операторы Винера-Хопфа. Определение оператора Винера-Хопфа. Треугольные операторы свертки. Индекс функции. Факторизация единичного оператора, возмущенного малым по норме оператором. Факторизация финитного оператора свертки. Факторизация оператора свертки. Обратимость операторов Винера-Хопфа.

Метод редукции для уравнения Винера-Хопфа. Лемма об обратимости оператора. Две теоремы об обратимости усеченных операторов свертки.

Многомерные операторы свертки. Определение многомерного оператора свертки. Обратимость операторов свертки в полупространствах. Функция затухания и ее свойства. Функция затухания оператора свертки. Две теоремы об операторах свертки на многоугольниках. Теорема о близости решений усеченного уравнения свертки и уравнения свертки по всей плоскости. Теорема о близости решений усеченного уравнения свертки и уравнения свертки в полуплоскости.

2. Образцы экзаменационных билетов

ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ № 1

1.      Матрица циклического сдвига. Собственные числа и собственные векторы матрицы циклического сдвига.

2.      Обратимость операторов Винера-Хопфа.

ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ № 2

1.      Дискретное преобразование Фурье. Обратимость циклической матрицы. Собственные числа и собственные векторы циклической матрицы

2.      Факторизация единичного оператора, возмущенного малым по норме оператором. Факторизация финитного оператора свертки. Факторизация оператора свертки

3. Критерии оценки

Экзамен проводится в устной форме. Ответ на экзамене оценивается исходя из сорока баллов.

За каждый вопрос можно получить до 20 баллов, количество баллов зависит от полноты ответа:

16-20 баллов - ответ дан в полной форме, вместе со всеми необходимыми доказательствами;

11-15 баллов - ответ дан в полной форме, в приведенных доказательствах содержатся незначительные погрешности;

6-10 баллов - ответ дан в полной форме, в приведенных доказательствах содержатся существенные погрешности;

6 баллов - ответ дан в сокращенной форме, определения и формулировки теорем приведены правильно, доказательства отсутствуют;

1-5 баллов - ответ дан в сокращенной форме, определения и формулировки теорем содержат погрешности, доказательства отсутствуют.

За дополнительные вопросы даются до 10 баллов (5 баллов за дополнительный вопрос, количество баллов зависит от полноты ответа).

По результатам промежуточной аттестации выставляется итоговая сумма баллов. Оценка «отлично» выставляется, если итоговая сумма не меньше 85 баллов. Оценка «хорошо» выставляется, если итоговая сумма баллов в пределах от 71 до 84. Оценка «удовлетворительно» выставляется, если итоговая сумма в пределах от 60 до 70.

Если итоговая сумма меньше 60 баллов, то выставляется оценка «неудовлетворительно».