Общее

Институт математики, механики и компьютерных наук им. И. И. Воровича

Направление "Прикладная математика и информатика"

2015/2016 уч. г., 1 курс, 2 семестр

Лектор к. ф.-м. н., доцент кафедры алгебры и дискретной математики М. Э. Абрамян

1. Первообразная и неопределенный интеграл
• [2.1A/00:00 (16:47)] Определение первообразной и неопределенного интеграла
• [2.1A/16:47 (12:44)] Таблица неопределенных интегралов
• [2.1A/29:31 (09:54), 2.1B/00:00 (02:28)] Простейшие свойства неопределенного интеграла
• [2.1B/02:28 (13:37)] Замена переменной в неопределенном интеграле
• Формула интегрирования по частям
      [2.1B/16:05 (07:28)] Вывод формулы интегрирования по частям
      [2.1B/23:33 (12:42)] Примеры применения формулы интегрирования по частям
2. Интегрирование рациональных функций
• [2.1B/36:15 (11:49)] Разложение рациональной функции на простейшие дроби
• [2.2A/00:00 (09:34)] Методы разложения рациональной функции
• Интегрирование слагаемых в разложении рациональной функции на простейшие дроби
      [2.2A/09:34 (06:46)] Простые ситуации, основанные на непосредственном использовании таблицы интегралов
      [2.2A/16:20 (09:56)] Использование замены переменной
      [2.2A/26:16 (12:00)] Использование рекуррентного соотношения
• [2.2B/00:00 (06:08)] Теорема об интегрировании рациональной функции
3. Интегрирование тригонометрических функций
• [2.2B/06:08 (03:45)] Рациональные выражения для тригонометрических функций
• [2.2B/09:53 (04:18)] Универсальная тригонометрическая замена
• [2.2B/14:11 (15:03)] Особенности применения универсальной тригонометрической замены
• Другие виды замены переменной для тригонометрических выражений
      [2.2B/29:14 (08:12), 2.3A/00:00 (15:04)] Замены переменной, использующие функции косинус и синус
      [2.3A/15:04 (09:28)] Замена переменной, использующая функцию тангенс
      [2.3A/24:32 (05:08)] Применение нескольких вариантов замены переменной
4. Интегрирование иррациональных функций
• [2.3A/29:40 (08:42)] Интегрирование рациональной функции с иррациональным аргументом
• [2.3A/38:22 (05:28), 2.3B/00:00 (03:45)] Обобщение на случай нескольких иррациональных аргументов
• [2.3B/03:45 (15:59)] Интегрирование биномиального дифференциала
• Подстановки Эйлера
      [2.3B/19:44 (12:18)] Три вида подстановок Эйлера
      [2.3B/32:02 (08:38)] О возможности применения подстановок Эйлера к любому квадратному трехчлену
5. Определенный интеграл и суммы Дарбу
• Определенный интеграл
      [2.4A/00:00 (07:00)] Задача о нахождении площади криволинейной трапеции
      [2.4A/07:00 (14:01)] Определение определенного интеграла
      [2.4A/21:01 (11:50)] Необходимое условие интегрируемости
• Суммы и интегралы Дарбу
      [2.4A/32:51 (05:52)] Определение сумм Дарбу
      [2.4A/38:43 (01:33), 2.4B/00:00 (12:05)] Простейшие свойства сумм Дарбу
      [2.4B/12:05 (15:11)] Свойство сумм Дарбу для измельчения разбиения
      [2.4B/27:16 (05:14)] Суммы Дарбу, связанные с различными разбиениями
      [2.4B/32:30 (07:05)] Интегралы Дарбу
• Критерий интегрируемости в терминах сумм Дарбу
      [2.5A/00:00 (09:13)] Формулировка критерия интегрируемости
      [2.5A/09:13 (09:43)] Доказательство необходимости
      [2.5A/18:56 (14:25)] Доказательство достаточности
      [2.5A/33:21 (08:48)] Следствие из критерия и пример неинтегрируемой функции
6. Классы интегрируемых функций. Свойства определенного интеграла
• Классы интегрируемых функций
      [2.5B/00:00 (02:05)] Простейший пример интегрируемой функции: постоянная функция
      [2.5B/02:05 (04:12)] Колебание функции и его использование в критерии интегрируемости
      [2.5B/06:17 (13:33)] Интегрируемость непрерывных функций
      [2.5B/19:50 (10:18)] Интегрируемость монотонных функций
• Свойства интеграла, связанные с подынтегральными функциями
      [2.5B/30:08 (09:46)] Линейность определенного интеграла
      [2.6A/00:00 (16:44)] Интегрируемость произведения
• Свойства, связанные с промежутками интегрирования
      [2.6A/16:44 (07:03)] Интегрируемость на вложенном отрезке
      [2.6A/23:47 (06:27)] Первая теорема об аддитивности интеграла относительно промежутка интегрирования
      [2.6A/30:14 (11:39)] Вторая теорема об аддитивности интеграла относительно промежутка интегрирования
• Оценки интегралов
      [2.6A/41:53 (01:17), 2.6B/00:00 (06:47)] Простейшие оценки интегралов
      [2.6B/06:47 (11:25)] Интеграл от положительной непрерывной функции
      [2.6B/18:12 (16:20)] Свойства интеграла от модуля функции
• Интегральные теоремы о среднем
      [2.6B/34:32 (10:39)] Первая теорема о среднем
      [2.7A/00:00 (12:56)] Вторая и третья теоремы о среднем
7. Интеграл с переменным верхним пределом. Формула Ньютона–Лейбница
• Интеграл с переменным верхним пределом
      [2.7A/12:56 (04:01)] Определение интеграла с переменным верхним пределом
      [2.7A/16:57 (16:48)] Теорема о непрерывности интеграла с переменным верхним пределом
      [2.7A/33:45 (13:39), 2.7B/00:00 (04:04)] Теорема о дифференцируемости интеграла с переменным верхним пределом от непрерывной функции
• Формула Ньютона–Лейбница
      [2.7B/04:04 (06:23)] Теоремы о первообразных для непрерывных функций
      [2.7B/10:27 (05:55)] Формула Ньютона–Лейбница
• Дополнительные приемы вычисления определенных интегралов
      [2.7B/16:22 (11:37)] Замена переменной в определенном интеграле
      [2.7B/27:59 (09:28)] Следствия из теоремы о замене переменной в определенном интеграле
      [2.8A/00:00 (10:45)] Вариант формулировки теоремы о замене переменной в определенном интеграле
      [2.8A/10:45 (04:49)] Формула интегрирования по частям для определенного интеграла
8. Вычисление площадей и объемов
• Квадрируемые фигуры на плоскости
      [2.8A/15:34 (09:49)] Фигуры на плоскости. Клеточные фигуры
      [2.8A/25:23 (12:33)] Квадрируемая фигура и ее площадь
      [2.8A/37:56 (03:38)] Критерий квадрируемости фигуры
• Площадь криволинейной трапеции и криволинейного сектора
      [2.8B/00:00 (13:27)] Теорема о площади криволинейной трапеции: формулировка и доказательство квадрируемости
      [2.8B/13:27 (07:27)] Доказательство формулы площади криволинейной трапеции
      [2.8B/20:54 (05:15)] Теорема о площади фигуры с двумя криволинейными частями границы
      [2.8B/26:09 (07:57)] Вычисление площади эллипса. Круговой и криволинейный сектор
      [2.9A/00:00 (15:06)] Теорема о площади криволинейного сектора: формулировка и доказательство квадрируемости
      [2.9A/15:06 (04:48)] Доказательство формулы площади криволинейного сектора
• Вычисление объемов
      [2.9A/19:54 (11:52)] Кубируемые тела в трехмерном пространстве
      [2.9B/00:00 (13:57)] Цилиндрическое тело и его объем
      [2.9B/13:57 (09:58)] Объем тела вращения
      [2.9B/23:55 (05:47)] Объем тела с заданными площадями поперечных сечений
9. Кривые и вычисление их длины
• Вектор-функции и их свойства
      [2.9B/29:42 (04:28)] Определение вектор-функции
      [2.9B/34:10 (07:39), 2.10A/00:00 (02:14)] Определение предела вектор-функции
      [2.10A/02:14 (06:17)] Критерий сходимости вектор-функции в терминах ее координатных функций
      [2.10A/08:31 (05:53)] Арифметические свойства предела вектор-функций
• Дифференцируемые вектор-функции
      [2.10A/14:24 (06:37)] Непрерывность и дифференцируемость вектор-функций: определения
      [2.10A/21:01 (05:13)] Арифметические свойства дифференцируемых вектор-функций
• Теорема Лагранжа для вектор-функций
      [2.10A/26:14 (06:35)] Нарушение равенства из теоремы Лагранжа в случае вектор-функций
      [2.10A/32:49 (10:25), 2.10B/00:00 (03:45)] Вариант теоремы Лагранжа для вектор-функций
• Кривые в пространстве. Спрямляемые кривые
      [2.10B/03:45 (05:36)] Простые кривые
      [2.10B/09:21 (07:27)] Спрямляемая кривая и ее длина
• Свойства непрерывно дифференцируемых кривых
      [2.10B/16:48 (10:04)] Теорема о спрямляемости непрерывно дифференцируемой кривой
      [2.10B/26:52 (14:04)] Теорема о производной для длины начального участка кривой
• Варианты формулы для нахождения длины кривой
      [2.10B/40:56 (03:02)] Формула для длины кривой, заданной с помощью вектор-функции
      [2.11A/00:00 (04:25)] Формулы для длины кривой, заданной в декартовой системе координат
      [2.11A/04:25 (06:33)] Формула для длины кривой, заданной в полярной системе координат

1. Antiderivative and indefinite integral
• [2.1A/00:00 (16:47)] Definition of an antiderivative and indefinite integral
• [2.1A/16:47 (12:44)] Table of indefinite integrals
• [2.1A/29:31 (09:54), 2.1B/00:00 (02:28)] The simplest properties of an indefinite integral
• [2.1B/02:28 (13:37)] Change of variables in an indefinite integral
• Formula of integration by parts
      [2.1B/16:05 (07:28)] Derivation of the formula of integration by parts
      [2.1B/23:33 (12:42)] Examples of applying the formula of integration by parts
2. Integration of rational functions
• [2.1B/36:15 (11:49)] Partial fraction decomposition of a rational function
• [2.2A/00:00 (09:34)] Methods for finding the decomposition of a rational function
• Integration of terms in the partial fraction decomposition of a rational function
      [2.2A/09:34 (06:46)] Simple cases based on the direct use of the table of integrals
      [2.2A/16:20 (09:56)] Using change of variable
      [2.2A/26:16 (12:00)] Using recurrence relation
• [2.2B/00:00 (06:08)] Theorem on the integration of a rational function
3. Integration of trigonometric functions
• [2.2B/06:08 (03:45)] Rational expressions for trigonometric functions
• [2.2B/09:53 (04:18)] Universal trigonometric substitution
• [2.2B/14:11 (15:03)] Features of the use of universal trigonometric substitution
• Other types of variable change for trigonometric expressions
      [2.2B/29:14 (08:12), 2.3A/00:00 (15:04)] Variable change using the cosine and sine functions
      [2.3A/15:04 (09:28)] Variable change using the tangent function
      [2.3A/24:32 (05:08)] Using multiple variable changes
4. Integration of irrational functions
• [2.3A/29:40 (08:42)] Integration of a rational function with an irrational argument
• [2.3A/38:22 (05:28), 2.3B/00:00 (03:45)] Generalization to the case of several irrational arguments
• [2.3B/03:45 (15:59)] Integration of the binomial differential
• Euler's substitutions
      [2.3B/19:44 (12:18)] Three types of Euler's substitutions
      [2.3B/32:02 (08:38)] On the possibility of applying Euler's substitutions to any quadratic trinomial
5. Definite integral and Darboux sums
• Definite integral
      [2.4A/00:00 (07:00)] The problem of finding the area of a curvilinear trapezoid
      [2.4A/07:00 (14:01)] Definition of a definite integral
      [2.4A/21:01 (11:50)] A necessary condition for integrability
• Darboux sums and Darboux integrals
      [2.4A/32:51 (05:52)] Definition of Darboux sums
      [2.4A/38:43 (01:33), 2.4B/00:00 (12:05)] The simplest properties of Darboux sums
      [2.4B/12:05 (15:11)] Darboux sum property related to refinement of a partition
      [2.4B/27:16 (05:14)] Darboux sums associated with different partitions
      [2.4B/32:30 (07:05)] Darboux integrals
• Integrability criterion in terms of Darboux sums
      [2.5A/00:00 (09:13)] Formulation of the integrability criterion
      [2.5A/09:13 (09:43)] Proof of necessity
      [2.5A/18:56 (14:25)] Proof of sufficiency
      [2.5A/33:21 (08:48)] Corollary of the criterion and an example of a non-integrable function
6. Classes of integrable functions. Properties of a definite integral
• Classes of integrable functions
      [2.5B/00:00 (02:05)] The simplest example of an integrable function: a constant function
      [2.5B/02:05 (04:12)] Oscillation of a function and its use in integrability criterion
      [2.5B/06:17 (13:33)] Integrability of continuous functions
      [2.5B/19:50 (10:18)] Integrability of monotone functions
• Integral properties associated with integrands
      [2.5B/30:08 (09:46)] Linearity of a definite integral
      [2.6A/00:00 (16:44)] Integrability of the product
• Properties associated with integration segments
      [2.6A/16:44 (07:03)] Integrability on a nested segment
      [2.6A/23:47 (06:27)] The first theorem on the additivity of a definite integral with respect to the integration segment
      [2.6A/30:14 (11:39)] The second theorem on the additivity of a definite integral with respect to the integration segment
• Estimates for integrals
      [2.6A/41:53 (01:17), 2.6B/00:00 (06:47)] Simple estimates of integrals
      [2.6B/06:47 (11:25)] Integral of a positive continuous function
      [2.6B/18:12 (16:20)] Properties of the integral of the absolute value of a function
• Mean value theorems for definite integrals
      [2.6B/34:32 (10:39)] The first mean value theorem
      [2.7A/00:00 (12:56)] The second and the third mean value theorems
7. Integral with a variable upper limit. Newton–Leibniz formula
• Integral with a variable upper limit
      [2.7A/12:56 (04:01)] Definition of an integral with a variable upper limit
      [2.7A/16:57 (16:48)] Theorem on the continuity of an integral with a variable upper limit
      [2.7A/33:45 (13:39), 2.7B/00:00 (04:04)] Theorem on the differentiability of an integral with a variable upper limit and a continuous integrand
• Newton–Leibniz formula
      [2.7B/04:04 (06:23)] Theorems on antiderivatives for continuous functions
      [2.7B/10:27 (05:55)] Newton–Leibniz formula
• Additional techniques for calculating definite integrals
      [2.7B/16:22 (11:37)] Change of variables in a definite integral
      [2.7B/27:59 (09:28)] Corollaries of the theorem on the change of variables in a definite integral
      [2.8A/00:00 (10:45)] Version of the theorem on the change of variables in a definite integral
      [2.8A/10:45 (04:49)] Integration formula by parts for a definite integral
8. Calculation of areas and volumes
• Quadrable figures on a plane
      [2.8A/15:34 (09:49)] Plane figures. Cell figures
      [2.8A/25:23 (12:33)] Squarable figure and its area
      [2.8A/37:56 (03:38)] Criterion for the squarability of a figure
• Area of a curvilinear trapezoid and area of a curvilinear sector
      [2.8B/00:00 (13:27)] Theorem on the area of a curvilinear trapezoid: formulation and proof of squarability
      [2.8B/13:27 (07:27)] Proof of the formula of the curvilinear trapezoid area
      [2.8B/20:54 (05:15)] Theorem on the area of a figure with two curvilinear boundary parts
      [2.8B/26:09 (07:57)] Calculation of the area of an ellipse. Circular sector and curvilinear sector
      [2.9A/00:00 (15:06)] Theorem on the area of a curvilinear sector: formulation and proof of squarability
      [2.9A/15:06 (04:48)] Proof of the curvilinear sector area formula
• Volume calculation
      [2.9A/19:54 (11:52)] Cubable solids
      [2.9B/00:00 (13:57)] Cylindrical solid and its volume
      [2.9B/13:57 (09:58)] Volume of a solid of revolution
      [2.9B/23:55 (05:47)] Volume of a solid with given cross-sectional areas
9. Curves and calculating their length
• Vector functions and their properties
      [2.9B/29:42 (04:28)] Vector functions
      [2.9B/34:10 (07:39), 2.10A/00:00 (02:14)] The limit of a vector function
      [2.10A/02:14 (06:17)] Convergence criterion of a vector function in terms of its coordinate functions
      [2.10A/08:31 (05:53)] Arithmetic properties of the limit of vector functions
• Differentiable vector functions
      [2.10A/14:24 (06:37)] Continuity and differentiability of vector functions
      [2.10A/21:01 (05:13)] Arithmetic properties of differentiable vector functions
• Lagrange's theorem for vector functions
      [2.10A/26:14 (06:35)] Violation of the equality from Lagrange's theorem in the case of vector functions
      [2.10A/32:49 (10:25), 2.10B/00:00 (03:45)] A version of Lagrange's theorem for vector functions
• Curves in three-dimensional space. Rectifiable curves
      [2.10B/03:45 (05:36)] Simple curves
      [2.10B/09:21 (07:27)] Rectifiable curve and its length
• Properties of continuously differentiable curves
      [2.10B/16:48 (10:04)] The theorem on the rectifiability of a continuously differentiable curve
      [2.10B/26:52 (14:04)] Theorem on the derivative for the length of the initial part of a curve
• Versions of the formula for finding the length of a curve
      [2.10B/40:56 (03:02)] Formula for the length of a curve specified by a vector function
      [2.11A/00:00 (04:25)] Formulas for the length of a curve specified in the Cartesian coordinate system
      [2.11A/04:25 (06:33)] Formula for the length of a curve specified in the polar coordinate system