Тематический план
-
Институт математики, механики и компьютерных наук им. И. И. Воровича
Направление "Фундаментальная информатика и информационные технологии"
1 курс, 1 семестр
Лектор к. ф.-м. н., доцент кафедры ИВЭ А.В. Абрамян
-
Содержание лекции 1. Функция "модуль" и ее свойства. Функции "сигнум", "пол" и "потолок". Промежутки. Аксиома полноты. Ограниченные множества Свойства ограниченных множеств. Максимальный и минимальный элемент. Единственность максимального и минимального элемента. Верхняя и нижняя грань множества. Точная верхняя и точная нижняя грань множества.
-
Содержание лекции 2. Определение последовательности. Предел последовательности Сходящиеся последовательности. Теорема о единственности предела последовательности. Теорема об ограниченности сходящейся последовательности. Теорема о пределе суммы, разности и произведения последовательностей. Следствие.
-
Определение последовательности. Предел последовательности Сходящиеся последовательности. Теорема о единственности предела последовательности. Теорема об ограниченности сходящейся последовательности. Теорема о пределе суммы и разности последовательностей.
-
Теорема о пределе произведения последовательностей. Следствие.
-
-
Содержание лекции 3. Свойства последовательностей, связанные с неравенствами. Теорема о трех последовательностях. Теорема о пределе частного двух последовательностей. Примеры. Лемма о вложенных отрезках.
-
Свойства последовательностей, связанные с неравенствами. Теорема о трех последовательностях. Пример.
-
Теорема о пределе частного двух последовательностей. Примеры. Лемма о вложенных отрезках.
-
-
Содержание лекции 4. Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности. Монотонные последовательности. Критерий сходимости возрастающей последовательности. Следствия. Приложения теоремы о пределе монотонной последовательности (шесть примеров). Число е.
-
Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности. Монотонные последовательности. Критерий сходимости возрастающей последовательности. Следствия 1-3.
-
Следствие 4. Приложения теоремы о пределе монотонной последовательности (шесть примеров).
-
-
Содержание лекции 5. Подпоследовательность. Теорема о пределе подпоследовательности. Частичный предел. Лемма Больцано-Вейерштрасса. Критерий Коши сходимости последовательности. Пример применения критерия Коши (расходимость гармонической последовательности)..
-
Подпоследовательность. Теорема о пределе подпоследовательности. Частичный предел. Лемма Больцано-Вейерштрасса.
-
Критерий Коши сходимости последовательности. Пример применения критерия Коши (расходимость гармонической последовательности).
-
-
Содержание лекции 6. Ограниченные функции. Точная верхняя и точная нижняя грань функции. Максимум м минимум функции. Окрестность и выколотая окрестность точки. Свойства выколотых окрестностей. Предел функции в точке. Теорема о единственности предела. Односторонний предел. Теорема о связи предела функции и односторонних пределов (критерий)
-
Ограниченные функции. Точная верхняя и точная нижняя грань функции. Максимум м минимум функции. Окрестность и выколотая окрестность точки. Свойства выколотых окрестностей.
-
Предел функции в точке. Теорема о единственности предела. Односторонний предел. Теорема о связи предела функции и односторонних пределов (критерий).
-
-
Содержание лекции 7. Локальные свойства функции, имеющей предел. Арифметические операции с пределами.
-
Локальные свойства функции, имеющей предел. Арифметические операции с пределами: предел суммы и разности функций.
-
Арифметические операции с пределами: предел произведения и частного функций
-
-
Содержание лекции 8. Свойства пределов, связанные с неравенствами. Монотонные функции. теорема об односторонних пределах монотонной функции на промежутке. Следствия. Первый замечательный предел. Второй замечательный предел. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Свойства бесконечно малых и бесконечно больших функций.
-
Три свойства пределов, связанные с неравенствами:
- сравнение с нулем предела неотрицательной функции;
- сравнение пределов функций f(x) и g(x) таких, что f(x) ≤ g(x);
- аналог теоремы о трех последовательностях.
-
Определение монотонной и строго монотонной функции. Теорема о существовании односторонних пределов монотонной функции.
-
Три следствия к теореме о существовании односторонних пределов монотонной функции.
-
Бесконечно малые и бесконечно большие функции:
- Определение бесконечно малой функции.
- Четыре свойства бесконечно малых функций.
- Определение бесконечно большой функции. Случай сохранения знака.
- Соотношения между бесконечно малыми и бесконечно большими функциями.
-
-
Содержание лекции 9.
- Критерий Коши существования предела функции.Пример применения Критерия Коши.
- Определение непрерывности в точке. Односторонняя непрерывность в точке. Непрерывность и односторонняя непрерывность на промежутке.Примеры непрерывных функций.
- Точки разрыва функции. Классификация точек разрыва. Примеры.
- Свойства функции, непрерывной в точке:
- локальные свойства непрерывной в точке функции;
- арифметические операции с непрерывными функциями;
- непрерывность сложной функции.
-
Критерий Коши существования предела функции.Пример применения Критерия Коши.
-
Определение непрерывности в точке. Односторонняя непрерывность в точке. Непрерывность и односторонняя непрерывность на промежутке.Примеры непрерывных функций.
-
Свойства функций, непрерывных в точке:
1) Локальные свойства функций, непрерывных в точке.
2) Арифметические операции с непрерывными функциями.
3) Непрерывность сложной функции.
- Критерий Коши существования предела функции.Пример применения Критерия Коши.
-
Содержание лекции 10. Теорема Вейерштрасса. Следствие об отделении функции от нуля. Замечание. Пример непрерывной, но не ограниченной на интервале функции. Первая теорема о промежуточном значении. Вторая теорема о промежуточном значении. Следствия.
-
Теорема Вейерштрасса. Следствие об отделении функции от нуля. Замечание. Пример непрерывной, но не ограниченной на интервале функции.
-
-
Вторая теорема о промежуточном значении. Следствие 1. Следствие 2.
-
-
Содержание лекции 11. Равномерно непрерывные функции. Критерий Коши существования предела функции. Пример применения критерия Коши. Сравнение функций: Определение производной. Примеры вычисления производных. Теорема о связи дифференцируемости и непрерывности.
-
Определение равномерной непрерывности. Критерий Коши существования предела функции. Пример применения критерия Коши.
-
Сравнение функций:
- эквивалентные функции;
- теорема о переходе к эквивалентной функции в произведении;
- теорема о переходе к эквивалентной функции в частном;
- примеры;
- знак «О», функции одного порядка, лемма, следствие;
- знак «о», критерий эквивалентности двух функций в терминах «о».
-
Определение производной. Примеры вычисления производных. Теорема о связи дифференцируемости и непрерывности.
-
-
Содержание лекции 12. Односторонние производные. Критерий существования производной в терминах односторонних производных. Определение дифференцируемости. Правила дифференцирования. Примеры вычисления производных. Производная неявной функции. Примеры вычисления производной неявной функции.
-
Односторонние производные. Критерий существования производной в терминах односторонних производных. Определение дифференцируемости функции в точке. Критерий дифференцируемости функции в точке. Следствие. Замечание. Примеры приближенного вычисления значения функции с использованием ее дифференцируемости. Односторонняя дифференцируемость в точке. Дифференцируемость функции на промежутке.
-
Правила дифференцирования:
- производная cf(x), –∞ < c < +∞ ;
- производная суммы, линейность операции дифференцирования;
- производная произведения;
- производная частного;
- производная функции ex(x2-3x+2);
- производная функции tg(x);
- производная функции ctg(x).
-
Производная неявной функции. Примеры вычисления производной неявной функции.
-
-
Содержание лекции 13. Дифференциал функции. Теорема о дифференциале суммы, разности и произведения двух функций. Теорема о дифференциале частного функций. Производная обратной функции. Производная сложной функции. Производные высших порядков. Формула Лейбница.
-
- Дифференциал функции. Теорема о дифференциале суммы, разности и произведения двух функций. Теорема о дифференциале частного функций.
- Производная обратной функции. Примеры вычисления производной обратной фуекции:
- производная функции arcsin(x);
- производная функции arctg(x).
- Производная сложной функции. Примеры вычисления производной сложной функции:
- производная функции ln(sin(x));
- производная функции \( \ln{(x + \sqrt{x^2 + 1})} \);
- производная функции \( x^x \);
- производная функции \( x^{x^x} \);
- производная функции \( \arcsin{\sin{x^2}} + \arccos{\cos{x^2}} \).
- Дифференциал функции. Теорема о дифференциале суммы, разности и произведения двух функций. Теорема о дифференциале частного функций.
-
Производные высших порядков. Примеры вычисления производных \( n \)-го порядка:
- производная функции \( e^x \);
- производная функции \( e^{2x} \);
- производная функции \( \sin{x} \);
- производная функции \( \ln{x} \);
- производная функции \( \frac{1}{x^2-1} \).
- производная функции \( x^2e^x \);
- производная функции \( x\sin{x} \).
-
-
Содержание лекции 14. Основные теоремы дифференциального исчисления: теорема Ферма, теорема Ролля, теорема Лагранжа, теорема Коши.
-
Теорема Ферма. Определение (строгого) локального экстремума. Альтернативная формулировка теоремы Ферма.
-
Теорема Коши. Замечание о невозможности доказательства теоремы Коши через теорему Лагранжа. Примеры, иллюстрирующие замечание.
-
-
Содержание лекции 15. Правило Лопиталя. Вычисление пределов с использованием правила Лопиталя:
-
Правило Лопиталя:
- теорема о раскрытии неопределенности вида \( ({\frac{0}{0}}) \)
при \( x \rightarrow a+0 \); - теорема о раскрытии неопределенности вида \( ({\frac{\infty}{\infty}}) \)
при \( x \rightarrow a+0 \); - теорема о раскрытии неопределенности вида \( ({\frac{0}{0}}) \)
при \( x \rightarrow +\infty \).
- теорема о раскрытии неопределенности вида \( ({\frac{0}{0}}) \)
-
-
Содержание лекции 16. Формула Тейлора для многочлена. Формула Тейлора для произвольной функции. Остаточный член в форме Пеано и в форме Лагранжа. Единственность разложения функции по формуле Тейлора с остаточным членом в форме Пеано.
-
Лемма о существовании и единственности разложения многочлена по степеням линейного двучлена. Формула Тейлора для многочлена.
-
Основные определения: многочлен Тейлора, остаточный член. Замечание о равенстве остаточного члена нулю при x=a. Лемма о дифференцировании многочлена Тейлора и остаточного члена.
-
Остаточный член в форме Пеано. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано.
-
Остаточный член в форме Лагранжа. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа.
-
Следствие к теореме об остаточном члене в форме Лагранжа. Теорема о единственности разложения функции по формуле Тейлора с остаточным членом в форме Пеано.
-
-
Содержание лекции 17. Вычисление пределов по определению. Вычисление пределов от рациональных и иррациональных функций. Вычисление пределов с использованием основных эквивалентностей.
-
Содержание лекции 18. Примеры разложения функций по формуле Тейлора.
-
Содержание лекции 19. Применение разложения функций по формуле Тейлора для вычисления пределов.
