Общее

Институт математики, механики и компьютерных наук им. И. И. Воровича

Направление "Прикладная математика и информатика"

2018/2019 уч. г., 2 курс, 1 семестр

Лектор к. ф.-м. н., доцент кафедры алгебры и дискретной математики М. Э. Абрамян

10. Несобственные интегралы: определение и свойства
• [3.8B/00:00 (04:13)] Задачи, приводящие к понятию несобственного интеграла
• Варианты определения несобственного интеграла
      [3.8B/04:13 (10:02)] Несобственный интеграл по полубесконечному промежутку
      [3.8B/14:15 (09:12)] Несобственный интеграл от неограниченной функции и определение несобственного интеграла в общем случае
• Свойства несобственных интегралов
      [3.8B/23:27 (05:12)] Линейность несобственного интеграла относительно подынтегральной функции
      [3.8B/28:39 (05:47)] Аддитивность несобственного интеграла относительно промежутка интегрирования и замена переменной в несобственном интеграле
      [3.8B/34:26 (07:19)] Формула интегрирования по частям для несобственных интегралов. Теорема о совпадении интеграла в собственном и несобственном смысле
11. Абсолютная и условная сходимость несобственных интегралов
• [3.9A/00:00 (10:08)] Критерий Коши сходимости несобственного интеграла
• [3.9A/10:08 (06:46)] Абсолютная сходимость несобственных интегралов
• Свойства несобственных интегралов от неотрицательных функций
      [3.9A/16:54 (10:00)] Критерий сходимости несобственных интегралов от неотрицательных функций
      [3.9A/26:54 (10:35)] Признак сравнения
      [3.9A/37:29 (04:25)] Следствие из признака сравнения
      [3.9B/00:00 (08:23)] Примеры применения признака сравнения
• [3.9B/08:23 (15:56)] Условная сходимость несобственных интегралов
• Признак Дирихле условной сходимости несобственного интеграла
      [3.9B/24:19 (06:36)] Формулировка признака Дирихле
      [3.9B/30:55 (13:14)] Доказательство признака Дирихле
• [3.10A/00:00 (11:35)] Интегралы, имеющие несколько особенностей
12. Числовые ряды
• Числовые ряды: определение и примеры
      [3.10A/11:35 (05:39)] Определение числового ряда
      [3.10A/17:14 (10:21)] Пример числового ряда: сумма элементов геометрической прогрессии
• Критерий Коши сходимости числового ряда и необходимое условие его сходимости
      [3.10A/27:35 (07:57)] Критерий Коши сходимости числового ряда
      [3.10A/35:32 (04:58)] Необходимое условие сходимости числового ряда
• Абсолютно сходящиеся числовые ряды и арифметические свойства сходящихся числовых рядов
      [3.10A/40:30 (01:44), 3.10B/00:00 (03:09)] Абсолютная сходимость числовых рядов
      [3.10B/03:09 (08:19)] Арифметические свойства сходящихся числовых рядов
13. Признаки сходимости числовых рядов с неотрицательными членами
• Признак сравнения
      [3.10B/11:28 (07:21)] Критерий сходимости числовых рядов с неотрицательными членами
      [3.10B/18:49 (06:49)] Признак сравнения для числовых рядов
• Интегральный признак сходимости
      [3.10B/25:38 (03:55)] Формулировка интегрального признака сходимости
      [3.10B/29:33 (07:07)] Начальный этап доказательства
      [3.10B/36:40 (07:13)] Завершающий этап доказательства
      [3.11A/00:00 (04:49)] Пример применения интегрального признака сходимости
• Признаки Даламбера и Коши сходимости числовых рядов
      [3.11A/04:49 (04:01)] Формулировка признака сходимости Даламбера
      [3.11A/08:50 (08:54)] Доказательство признака сходимости Даламбера
      [3.11A/17:44 (07:23)] Признак Даламбера в предельной форме
      [3.11A/25:07 (02:48)] Пример применения признака Даламбера
      [3.11A/27:55 (07:22)] Признак сходимости Коши
      [3.11A/35:17 (06:06)] Пример применения признака Коши
14. Знакочередующиеся ряды и условная сходимость
• Знакочередующиеся ряды
      [3.11B/00:00 (04:22)] Определение условной сходимости, знакочередующегося ряда и ряда Лейбница
      [3.11B/04:22 (11:11)] Теорема о сходимости ряда Лейбница
      [3.11B/15:33 (14:19)] Оценка суммы ряда Лейбница через его частичные суммы
• Признаки Дирихле и Абеля условной сходимости числового ряда
      [3.11B/29:52 (04:29), 3.12A/00:00 (03:18)] Признак Дирихле условной сходимости числового ряда
      [3.12A/03:18 (11:41)] Примеры применения признака Дирихле
      [3.12A/14:59 (06:03)] Доказательство отсутствия абсолютной сходимости
      [3.12A/21:02 (06:58)] Признак Абеля условной сходимости числового ряда
• [3.12A/28:00 (07:07)] Дополнительные замечания об абсолютно и условно сходящихся рядах
15. Функциональные последовательности и ряды
• Поточечная и равномерная сходимость функциональной последовательности и функционального ряда
      [3.12A/35:07 (10:52)] Функциональная последовательность и функциональный ряд, их поточечная сходимость
      [3.12B/00:00 (03:57)] Равномерная сходимость функциональной последовательности
      [3.12B/03:57 (10:28)] Критерий равномерной сходимости функциональной последовательности в терминах предела супремума
      [3.12B/14:25 (14:47)] Примеры применения критерия равномерной сходимости функциональной последовательности
      [3.12B/29:12 (05:20)] Равномерная сходимость функционального ряда и критерий равномерной сходимости ряда в терминах предела супремума
• Критерий Коши равномерной сходимости функциональной последовательности и функционального ряда
      [3.12B/34:32 (04:54)] Формулировка критерия Коши равномерной сходимости функциональной последовательности
      [3.13A/00:00 (10:53)] Доказательство критерия Коши равномерной сходимости функциональной последовательности
      [3.13A/10:53 (03:41)] Критерий Коши равномерной сходимости функционального ряда
• Признаки равномерной сходимости функциональных рядов
      [3.13A/14:34 (12:01)] Признак Вейерштрасса
      [3.13A/26:35 (07:50)] Признаки Дирихле и Абеля
16. Свойства равномерно сходящихся последовательностей и рядов
• Непрерывность равномерного предела
      [3.13A/34:25 (09:02)] Формулировка теоремы о непрерывности равномерного предела
      [3.13B/00:00 (13:55)] Доказательство теоремы о непрерывности равномерного предела
      [3.13B/13:55 (09:55)] Следствие для функциональных рядов
• Интегрирование функциональных последовательностей и рядов
      [3.13B/23:50 (03:57)] Формулировка теоремы об интегрировании функциональной последовательности
      [3.13B/27:47 (06:14)] Доказательство теоремы об интегрировании функциональной последовательности
      [3.14A/00:00 (08:28)] Формулировка следствия об интегрировании функционального ряда
      [3.14A/08:28 (04:38)] Доказательство следствия об интегрировании функционального ряда
• Дифференцирование функциональных последовательностей и рядов
      [3.14A/13:06 (06:39)] Формулировка теоремы о дифференцировании функциональной последовательности
      [3.14A/19:45 (07:29)] Доказательство теоремы о дифференцировании функциональной последовательности
      [3.14A/27:14 (04:20)] Формулировка следствия о дифференцировании функционального ряда
      [3.14A/31:34 (06:26)] Доказательство следствия о дифференцировании функционального ряда
17. Степенные ряды
• Степенной ряд: определение и теоремы Абеля о его сходимости
      [3.14A/38:00 (03:19)] Определение степенного ряда
      [3.14B/00:00 (04:18)] Формулировка первой теоремы Абеля
      [3.14B/04:18 (12:36)] Доказательство первой теоремы Абеля
      [3.14B/16:54 (04:55)] Формулировка второй теоремы Абеля
      [3.14B/21:49 (14:27)] Первый этап доказательства
      [3.14B/36:16 (04:58)] Второй этап доказательства
• Верхний и нижний пределы последовательности
      [3.14B/41:14 (05:05)] Частичные пределы последовательности
      [3.15A/00:00 (08:30)] Верхний и нижний пределы последовательности
• Формула Коши–Адамара для радиуса сходимости степенного ряда
      [3.15A/08:30 (04:04)] Формулировка теоремы Коши–Адамара
      [3.15A/12:34 (13:25)] Доказательство теоремы Коши–Адамара
      [3.15A/25:59 (09:37)] Примеры применения формулы Коши–Адамара
• Свойства степенных рядов
      [3.15A/35:36 (08:26)] Непрерывность суммы степенного ряда
      [3.15B/00:00 (13:22)] Интегрирование степенного ряда
      [3.15B/13:22 (12:46)] Дифференцирование степенного ряда
18. Ряд Тейлора
• [3.15B/26:08 (13:22)] Вещественные аналитические функции и их разложение в ряд Тейлора
• Вещественные аналитические функции и свойство бесконечной дифференцируемости
      [3.16A/00:00 (15:20)] Пример бесконечно дифференцируемой функции, которая не разлагается в ряд Тейлора
      [3.16A/15:20 (03:39)] Дополнительные замечания о свойствах рассмотренной функции
• Достаточное условие существования ряда Тейлора. Разложения экспоненты, синуса и косинуса в ряд Тейлора
      [3.16A/18:59 (06:28)] Связь между существованием ряда Тейлора и поведением остаточного члена формулы Тейлора
      [3.16A/25:27 (08:54)] Теорема о достаточном условии существования ряда Тейлора
      [3.16A/34:21 (09:28)] Разложение в ряд Тейлора экспоненты, синуса и косинуса
• [3.16B/00:00 (04:25)] Разложение степенной функции в ряд Тейлора
• Разложения логарифма и арксинуса в ряд Тейлора
      [3.16B/04:25 (10:55)] Разложение логарифма в ряд Тейлора
      [3.16B/15:20 (13:03)] Разложение арксинуса в ряд Тейлора
      [3.16B/28:23 (06:25)] Дополнительные замечания
19. Ряды Фурье в евклидовом пространстве
• Вещественное евклидово пространство и его свойства
      [3.17A/00:00 (07:51)] Определение вещественного евклидова пространства
      [3.17A/07:51 (10:05)] Норма вектора и ее свойства
      [3.17A/17:56 (06:48)] Метрика и определение предела последовательности в евклидовом пространстве
• Ряд Фурье по ортонормированной последовательности векторов в евклидовом пространстве
      [3.17A/24:44 (06:35)] Определение ортонормированной последовательности и ряда Фурье
      [3.17A/31:19 (03:28)] Формулировка экстремального свойства сумм Фурье
      [3.17A/34:47 (11:23)] Доказательство экстремального свойства сумм Фурье
      [3.17B/00:00 (06:08)] Неравенство Бесселя
• Ряд Фурье по полной ортонормированной последовательности векторов
      [3.17B/06:08 (04:59)] Полная последовательность в евклидовом пространстве
      [3.17B/11:07 (13:40)] Равенство Парсеваля для коэффициентов Фурье по полной ортонормированной последовательности
      [3.17B/24:47 (02:38)] Равенство Парсеваля как обобщение теоремы Пифагора
      [3.17B/27:25 (08:11)] Теорема о сходимости ряда Фурье по полной ортонормированной последовательности
20. Ряды Фурье в пространстве интегрируемых функций
• Евклидово пространство интегрируемых функций
      [3.18A/00:00 (07:21)] Определение евклидова пространства интегрируемых функций
      [3.18A/07:21 (07:46)] Способы обеспечить выполнение аксиомы, связанной с нулевым скалярным произведением
      [3.18A/15:07 (01:07)] Норма в пространстве интегрируемых функций
• Построение ортонормированной последовательности интегрируемых функций
      [3.18A/16:14 (08:26)] Последовательность тригонометрических функций и доказательство ее ортогональности
      [3.18A/24:40 (07:23)] Нормировка полученной последовательности тригонометрических функций
      [3.18A/32:03 (08:49)] Ортонормированная последовательность функций для произвольного сегмента
• Построение формального ряда Фурье для интегрируемых функций
      [3.18B/00:00 (08:57)] Коэффициенты Фурье и ряд Фурье для интегрируемых функций
      [3.18B/08:57 (09:54)] Другой вариант представления ряда Фурье
• Сходимость ряда Фурье в среднеквадратичном в случае периодических непрерывных функций
      [3.18B/18:51 (08:15)] Теоремы Вейерштрасса о равномерной аппроксимации
      [3.18B/27:06 (13:15)] Сходимость ряда Фурье для непрерывных периодических функций
• Сходимость ряда Фурье в среднеквадратичном в случае кусочно-непрерывных функций
      [3.19A/00:00 (02:51)] Формулировка теоремы об аппроксимации кусочно-непрерывной функции
      [3.19A/02:51 (12:07)] Первый этап доказательства
      [3.19A/14:58 (06:33)] Второй этап доказательства
      [3.19A/21:31 (06:13)] Третий этап доказательства
      [3.19A/27:44 (07:41)] Сходимость ряда Фурье для кусочно-непрерывных функций
• [3.19A/35:25 (04:58)] Поточечная сходимость ряда Фурье
• Равномерная сходимость ряда Фурье
      [3.19B/00:00 (05:26)] Формулировка теоремы о равномерной сходимости ряда Фурье
      [3.19B/05:26 (13:35)] Первый этап доказательства
      [3.19B/19:01 (04:48)] Второй этап доказательства
      [3.19B/23:49 (10:00)] Третий этап доказательства
• [3.19B/33:49 (06:32)] Скорость убывания коэффициентов Фурье для дифференцируемых функций

10. Improper integrals: definition and properties
• [3.8B/00:00 (04:13)] Tasks leading to the notion of an improper integral
• Definitions of an improper integral
      [3.8B/04:13 (10:02)] Improper integral over a semi-infinite interval
      [3.8B/14:15 (09:12)] Improper integral for an unbounded function and the definition of an improper integral in the general case
• Properties of improper integrals
      [3.8B/23:27 (05:12)] Linearity of the improper integral with respect to the integrand
      [3.8B/28:39 (05:47)] Additivity of an improper integral with respect to the integration interval and change of variables in an improper integral
      [3.8B/34:26 (07:19)] Integration formula by parts for improper integrals. Theorem on the coincidence of the integral in the proper and improper sense
11. Absolute and conditional convergence of improper integrals
• [3.9A/00:00 (10:08)] Cauchy criterion for the convergence of an improper integral
• [3.9A/10:08 (06:46)] Absolute convergence of improper integrals
• Properties of improper integrals of non-negative functions
      [3.9A/16:54 (10:00)] Criterion for the convergence of improper integrals of non-negative functions
      [3.9A/26:54 (10:35)] The comparison test
      [3.9A/37:29 (04:25)] Corollary of the comparison test
      [3.9B/00:00 (08:23)] Examples of using the comparison test
• [3.9B/08:23 (15:56)] Conditional convergence of improper integrals
• Dirichlet's test for conditional convergence of an improper integral
      [3.9B/24:19 (06:36)] Formulation of Dirichlet's test
      [3.9B/30:55 (13:14)] Proof of Dirichlet's test
• [3.10A/00:00 (11:35)] Integrals with several singularities
12. Numerical series
• Numerical series: definition and examples
      [3.10A/11:35 (05:39)] Definition of a numerical series
      [3.10A/17:14 (10:21)] Example of a numerical series: the sum of the elements of a geometric progression
• Cauchy criterion for the convergence of a numerical series and a necessary condition for its convergence
      [3.10A/27:35 (07:57)] Cauchy criterion for the convergence of a numerical series
      [3.10A/35:32 (04:58)] A necessary condition for the convergence of a numerical series
• Absolutely convergent numerical series and arithmetic properties of convergent numerical series
      [3.10A/40:30 (01:44), 3.10B/00:00 (03:09)] Absolutely convergent numerical series
      [3.10B/03:09 (08:19)] Arithmetic properties of convergent numerical series
13. Convergence tests for numerical series with non-negative terms
• Comparison test
      [3.10B/11:28 (07:21)] Criterion for convergence of numerical series with non-negative terms
      [3.10B/18:49 (06:49)] Comparison test for numerical series
• Integral test of convergence
      [3.10B/25:38 (03:55)] Formulation of the integral test of convergence
      [3.10B/29:33 (07:07)] Initial stage of the proof
      [3.10B/36:40 (07:13)] The final stage of the proof
      [3.11A/00:00 (04:49)] An example of applying the integral test of convergence
• D'Alembert's test and Cauchy's test for convergence of a numerical series
      [3.11A/04:49 (04:01)] Formulation of D'Alembert's test
      [3.11A/08:50 (08:54)] Proof of D'Alembert's test
      [3.11A/17:44 (07:23)] The limit D'Alembert test
      [3.11A/25:07 (02:48)] An example of applying D'Alembert's test
      [3.11A/27:55 (07:22)] Cauchy's test
      [3.11A/35:17 (06:06)] An example of applying Cauchy's test
14. Alternating series and conditional convergence
• Alternating series
      [3.11B/00:00 (04:22)] Definition of conditional convergence, alternating series, and the Leibniz series
      [3.11B/04:22 (11:11)] Theorem on the convergence of the Leibniz series
      [3.11B/15:33 (14:19)] Estimation of the Leibniz series in terms of its partial sums
• Dirichlet's test and Abel's test for conditional convergence of a numerical series
      [3.11B/29:52 (04:29), 3.12A/00:00 (03:18)] Dirichlet's test for conditional convergence of a numerical series
      [3.12A/03:18 (11:41)] Examples of applying Dirichlet's test
      [3.12A/14:59 (06:03)] The proof of the absence of absolute convergence
      [3.12A/21:02 (06:58)] Abel's test for conditional convergence of a numerical series
• [3.12A/28:00 (07:07)] Additional remarks on absolutely and conditionally convergent series
15. Functional sequences and series
• Pointwise and uniform convergence of a functional sequence and a functional series
      [3.12A/35:07 (10:52)] Functional sequence and functional series, their pointwise convergence
      [3.12B/00:00 (03:57)] Uniform convergence of the functional sequence
      [3.12B/03:57 (10:28)] Criterion for uniform convergence of a functional sequence in terms of the supremum limit
      [3.12B/14:25 (14:47)] Examples of applying the criterion for uniform convergence of a functional sequence
      [3.12B/29:12 (05:20)] Uniform convergence of a functional series and a criterion for uniform convergence of a series in terms of the supremum limit
• Cauchy criterion for the uniform convergence of a functional sequence and a functional series
      [3.12B/34:32 (04:54)] Formulation of the Cauchy criterion for uniform convergence of a functional sequence
      [3.13A/00:00 (10:53)] Proof of the Cauchy criterion for uniform convergence of a functional sequence
      [3.13A/10:53 (03:41)] Cauchy criterion for uniform convergence of a functional series
• Tests of uniform convergence of functional series
      [3.13A/14:34 (12:01)] Weierstrass test
      [3.13A/26:35 (07:50)] Dirichlet's test and Abel's test
16. Properties of uniformly converging sequences and series
• Continuity of the uniform limit
      [3.13A/34:25 (09:02)] Formulation of the theorem on the continuity of the uniform limit
      [3.13B/00:00 (13:55)] Proof of the theorem on the continuity of the uniform limit
      [3.13B/13:55 (09:55)] Corollary for functional series
• Integration of functional sequences and series
      [3.13B/23:50 (03:57)] Formulation of the theorem on the integration of a functional sequence
      [3.13B/27:47 (06:14)] Proof of the theorem on the integration of a functional sequence
      [3.14A/00:00 (08:28)] Formulation of the corollary on the integration of a functional series
      [3.14A/08:28 (04:38)] Proof of the corollary on the integration of a functional series
• Differentiation of functional sequences and series
      [3.14A/13:06 (06:39)] Formulation of the theorem on the differentiation of a functional sequence
      [3.14A/19:45 (07:29)] Proof of the theorem on the differentiation of a functional sequence
      [3.14A/27:14 (04:20)] Formulation of the corollary on the differentiation of a functional series
      [3.14A/31:34 (06:26)] Proof of the corollary on the differentiation of a functional series
17. Power series
• Power series: definition and Abel's theorems on its convergence
      [3.14A/38:00 (03:19)] Definition of a power series
      [3.14B/00:00 (04:18)] Formulation of the first Abel theorem
      [3.14B/04:18 (12:36)] Proof of the first Abel theorem
      [3.14B/16:54 (04:55)] Formulation of the second Abel theorem
      [3.14B/21:49 (14:27)] First stage of the proof
      [3.14B/36:16 (04:58)] Second stage of the proof
• Limit inferior and limit superior of a sequence
      [3.14B/41:14 (05:05)] Partial limits of a sequence
      [3.15A/00:00 (08:30)] Limit superior and limit inferior of a sequence
• Cauchy–Hadamard formula for the radius of convergence of a power series
      [3.15A/08:30 (04:04)] Formulation of the Cauchy–Hadamard theorem
      [3.15A/12:34 (13:25)] Proof of the Cauchy–Hadamard theorem
      [3.15A/25:59 (09:37)] Examples of application of the Cauchy–Hadamard formula
• Properties of power series
      [3.15A/35:36 (08:26)] Continuity of the sum of a power series
      [3.15B/00:00 (13:22)] Integration of a power series
      [3.15B/13:22 (12:46)] Differentiation of a power series
18. Taylor series
• [3.15B/26:08 (13:22)] Real analytic functions and their expansions into Taylor series
• Real analytic functions and the property of infinite differentiability
      [3.16A/00:00 (15:20)] An example of an infinitely differentiable function that does not expand into a Taylor series
      [3.16A/15:20 (03:39)] Additional remarks on the properties of the considered function
• Sufficient condition for the existence of a Taylor series.Expansions of exponent, sine, and cosine into a Taylor series
      [3.16A/18:59 (06:28)] Relationship between the existence of a Taylor series and the behavior of the remainder term of Taylor's formula
      [3.16A/25:27 (08:54)] Sufficient condition for the existence of a Taylor series
      [3.16A/34:21 (09:28)] Taylor series expansion of exponent, sine, and cosine
• [3.16B/00:00 (04:25)] Taylor series expansion of a power function
• Taylor series expansions of the logarithm and arcsine
      [3.16B/04:25 (10:55)] Taylor series expansion of the logarithm
      [3.16B/15:20 (13:03)] Taylor series expansion of the arcsine
      [3.16B/28:23 (06:25)] Additional remarks
19. Fourier series in Euclidean space
• Real Euclidean space and its properties
      [3.17A/00:00 (07:51)] Definition of a real Euclidean space
      [3.17A/07:51 (10:05)] Norm of a vector and its properties
      [3.17A/17:56 (06:48)] Metric and definition of the limit of a sequence in Euclidean space
• Fourier series with respect to an orthonormal sequence of vectors in Euclidean space
      [3.17A/24:44 (06:35)] Definition of an orthonormal sequence and Fourier series
      [3.17A/31:19 (03:28)] Formulation of the extremal property of Fourier sums
      [3.17A/34:47 (11:23)] Proof of the extremal property of Fourier sums
      [3.17B/00:00 (06:08)] Bessel's inequality
• Fourier series over a complete orthonormal sequence of vectors
      [3.17B/06:08 (04:59)] Complete sequence in Euclidean space
      [3.17B/11:07 (13:40)] Parseval's identity for Fourier coefficients with respect to a complete orthonormal sequence
      [3.17B/24:47 (02:38)] Interpretation of Parseval's identity as a generalization of the Pythagorean theorem
      [3.17B/27:25 (08:11)] Theorem on the convergence of a Fourier series with respect to a complete orthonormal sequence
20. Fourier series in the space of integrable functions
• Euclidean space of integrable functions
      [3.18A/00:00 (07:21)] Definition of the Euclidean space of integrable functions
      [3.18A/07:21 (07:46)] Ways to satisfy the axiom associated with the zero scalar product
      [3.18A/15:07 (01:07)] Norm in the space of integrable functions
• Constructing an orthonormal sequence of integrable functions
      [3.18A/16:14 (08:26)] A sequence of trigonometric functions and a proof of its orthogonality
      [3.18A/24:40 (07:23)] Normalization of the obtained sequence of trigonometric functions
      [3.18A/32:03 (08:49)] Orthonormal sequence of functions for an arbitrary segment
• Constructing a formal Fourier series for integrable functions
      [3.18B/00:00 (08:57)] Fourier coefficients and Fourier series for integrable functions
      [3.18B/08:57 (09:54)] Another representation of the Fourier series
• Convergence of the Fourier series in mean square in the case of periodic continuous functions
      [3.18B/18:51 (08:15)] Weierstrass theorems on uniform approximation
      [3.18B/27:06 (13:15)] Convergence of the Fourier series for continuous periodic functions
• Convergence of the Fourier series in mean square in the case of piecewise continuous functions
      [3.19A/00:00 (02:51)] Formulation of the theorem on the approximation of a piecewise continuous function
      [3.19A/02:51 (12:07)] First stage of the proof
      [3.19A/14:58 (06:33)] Second stage of the proof
      [3.19A/21:31 (06:13)] Third stage of the proof
      [3.19A/27:44 (07:41)] Convergence of the Fourier series for piecewise continuous functions
• [3.19A/35:25 (04:58)] Pointwise convergence of the Fourier series
• Uniform convergence of the Fourier series
      [3.19B/00:00 (05:26)] Formulation of the theorem on the uniform convergence of the Fourier series
      [3.19B/05:26 (13:35)] First stage of the proof
      [3.19B/19:01 (04:48)] Second stage of the proof
      [3.19B/23:49 (10:00)] Third stage of the proof
• [3.19B/33:49 (06:32)] Decreasing rate of Fourier coefficients for differentiable functions