Оглавление секции
-
Содержание лекции 23. Гамма-функция Г(x): определение в виде несобственного интеграла, непрерывность гамма-функции Г(x) для x > 0. Бесконечная дифференцируемость гамма-функции. Основное соотношение для гамма-функции (Г(x + 1) = x Г(x)) и его следствия: связь гамма-функции и факториала, поведение гамма-функции Г(x) при x -> +0, определение гамма-функции для x < 0. Бета-функция В(x, y): определение в виде несобственного интеграла, непрерывность бета-функции В(x, y) для x > 0, y > 0. Свойства бета-функции: (1) В(x, y) = В(y, x); (2) В(x, 1 – x) = Pi / sin(x*Pi) при 0 < x < 1; (3) B(x, y) = Г(x) Г(y) / Г(x + y) (свойства 2 и 3 без доказательства), следствие (значение интеграла Пуассона). Применение бета-функции для вычисления интегралов от тригонометрических функций вида (sin phi)^(a–1) * (cos phi)^(b–1), a > 0, b > 0, на промежутке от 0 до Pi/2, следствие (значение интеграла от функции (tg phi)^c при |c| < 1 на промежутке от 0 до Pi/2).