Тематический план

  • Общее

    Институт математики, механики и компьютерных наук им. И. И. Воровича

    Направление "Прикладная математика и информатика"

    2015/2016 уч. г., 1 курс, 2 семестр

    Лектор к. ф.-м. н., доцент кафедры алгебры и дискретной математики М. Э. Абрамян


    • Лекция 1. Неопределенный интеграл

      Содержание лекции 1. Первообразная: определение. Теорема о связи различных первообразных одной функции. Неопределенный интеграл: определение. Таблица неопределенных интегралов. Свойства неопределенного интеграла (производная неопределенного интеграла и неопределенный интеграл от производной, линейность неопределенного интеграла). Замена переменных в неопределенном интеграле, примеры. Формула интегрирования по частям для неопределенного интеграла, примеры.


    • Лекция 2. Интегрирование рациональных функций

      Содержание лекции 2. Рациональная функция: определение, теорема о разложении рациональной функции (без доказательства), метод неопределенных коэффициентов для нахождения разложения. Теорема об интегрировании рациональных функций. Полиномы и рациональные функции двух переменных: определение. Универсальная тригонометрическая подстановка и особенности ее применения, вызванные сужением области определения (на примере интеграла от функции sin^2(x) + cos^2(x)).


    • Лекция 3. Интегрирование тригонометрических и иррациональных функций

      Содержание лекции 3. Теорема о преобразовании рациональной функции R(u, v) при выполнении одного из условий: R(-u, v) = -R(u, v), R(u, -v) = -R(u, v), R(-u, -v) = R(u, v); представление функции R(u, v) общего вида как суммы функций, удовлетворяющих указанным условиям. Следствие о тригонометрических подстановках для функции R(sin x, cos x) в указанных частных случаях. Интегралы от функции R(x, ((ax+b)/(cx+d))^p) при ad - bc <> 0, где R - рациональная функция двух переменных; обобщение на случай рациональной функции n переменных. Интегрирование биномиального дифференциала x^m (a + bx^n)^p dx; три случая сведения к рациональной функции. Три подстановки Эйлера для интегрирования выражений вида R(x, (ax^2+bx+c)^(1/2)); теорема о том, что эти выражения всегда можно свести к рациональной функции.

    • Лекция 4. Определенный интеграл. Суммы Дарбу

      Содержание лекции 4. Разбиение отрезка, мелкость разбиения, выборка, интегральная сумма для функции f при заданном разбиении и фиксированной выборке: определения. Определенный интеграл функции f на отрезке: определение. Ограниченность функции как необходимое условие ее интегрируемости. Нижняя S- и верхняя S+ суммы Дарбу: определение и свойства (два свойства о связи сумм Дарбу с интегральными суммами, свойство о суммах Дарбу для измельчения разбиения, неравенство для нижней и верхней суммы Дарбу по произвольным разбиениям, существование sup S- и inf S+ - нижнего и верхнего интегралов Дарбу).

    • Лекция 5. Классы интегрируемых функций

      Содержание лекции 5. Критерий интегрируемости функции в терминах сумм Дарбу. Пример ограниченной функции, не являющейся интегрируемой (функция Дирихле). Пример интегрируемой функции (f(x) = const). Колебание функции на отрезке: определение, условие интегрируемости функции в терминах колебания функции. Теорема об интегрируемости функции, непрерывной на отрезке. Теорема об интегрируемости функции, монотонной на отрезке. Свойства определенного интеграла: интегрируемость линейной комбинации интегрируемых функций.

    • Лекция 6. Свойства определенного интеграла

      Содержание лекции 6. Интегрируемость произведения интегрируемых функций. Свойства, связанные с отрезками интегрирования (теорема об интегрируемости функции на меньшем отрезке; теорема о равенстве интеграла по отрезку [a, b] сумме интегралов по отрезкам [a, c] и [c, b]; расширение понятия интеграла и обобщение предыдущей теоремы). Оценки интегралов (теорема о неотрицательности интеграла от неотрицательной функции, следствия о сравнении интегралов; теорема о положительности интеграла от неотрицательной функции, принимающей в некоторой точке положительное значение и непрерывной в этой точке; теорема об интегрируемости модуля функции и оценка модуля интеграла). Интегральная теорема о среднем (теорема об интеграле произведения fg, где f и g интегрируемы, а g не меняет знака).

    • Лекция 7. Формула Ньютона-Лейбница

      Содержание лекции 7. Интегральные теоремы о среднем (продолжение). Интеграл с переменным верхним пределом: определение. Теорема о непрерывности интеграла с переменным верхним пределом. Теорема о дифференцируемости интеграла с переменным верхним пределом в точке x0 при условии непрерывности подынтегральной функции в этой точке. Теорема о существовании первообразной у непрерывной функции и выражение этой первообразной через интеграл с переменным верхним пределом. Формула Ньютона-Лейбница и ее доказательство для случая непрерывной на отрезке функции. Теорема о замене переменной в определенном интеграле, следствия: интегралы от нечетной и четной непрерывной функции на отрезке [-a, a].


    • Лекция 8. Вычисление площадей

      Содержание лекции 8. Следствия из теоремы о замене переменной (продолжение): интеграл от периодической непрерывной функции на отрезке [a, a + T], где T - период функции. Теорема об интегрировании по частям для определенного интеграла. Плоская фигура, прямоугольник, клеточная фигура, площади прямоугольника и клеточной фигуры: определения. Квадрируемая фигура и ее площадь: определения. Существование и единственность площади для любой квадрируемой фигуры (без доказательства). Необходимое и достаточное условие квадрируемости плоской фигуры (без доказательства). Криволинейная трапеция: определение, теорема о площади криволинейной трапеции; следствие о площади фигуры, ограниченной графиками двух непрерывных функций и отрезками вертикальных прямых. Площадь эллипса.

    • Лекция 9. Вычисление объемов

      Содержание лекции 9. Теорема о площади криволинейного сектора. Тело, параллелепипед, клеточное тело, объемы параллелепипеда и клеточного тела: определения. Кубируемое тело и его объем: определения. Существование и единственность объема для любого кубируемого тела (без доказательства). Цилиндрическое тело: определение, теорема об объеме цилиндрического тела. Теорема об объеме тела вращения. Теорема об объеме тела с заданными площадями поперечных сечений (без доказательства). Вектор-функция: определение. Предел вектор-функции: определение.

    • Лекция 10. Вектор-функции. Вычисление длины кривой

      Содержание лекции 10. Критерий существования предела вектор-функции в терминах существования предела ее координатных функций. Арифметические свойства пределов вектор-функций. Непрерывность вектор-функции, производная вектор-функции: определения. Правила дифференцирования вектор-функций. Теорема Лагранжа для вектор-функций. Простая кривая, параметризуемая кривая, замкнутая кривая, простой контур: определения. Спрямляемая кривая и ее длина: определения. Непрерывно дифференцируемая кривая: определение, спрямляемость непрерывно дифференцируемой кривой и оценка для ее длины. Теорема о производной переменной длины дуги непрерывно дифференцируемой кривой и ее следствие - формула длины кривой, заданной уравнением r = r(t).


    • Лекция 11. Метрические пространства

      Содержание лекции 11. Варианты формулы длины кривой. Метрическое пространство: определение. Три примера метрики на плоскости: евклидова, максимум модулей разностей координат, сумма модулей разностей координат. Метрическое пространство R^n: определение. Неравенства Коши и Минковского, доказательство неравенства треугольника для евклидовой метрики в R^n. Пример метрического пространства, отличного от R^n (пространство ограниченных функций на отрезке). Сходящаяся последовательность и ограниченная последовательность в метрическом пространстве: определения. Свойства сходящихся последовательностей в произвольном метрическом пространстве (ограниченность сходящейся последовательности и единственность предела сходящейся последовательности). Критерий сходимости последовательности в R^n в терминах сходимости последовательностей ее координат. Фундаментальная последовательность: определение. Фундаментальность сходящейся последовательности.

    • Лекция 12. Открытые и замкнутые множества

      Содержание лекции 12. Полное метрическое пространство: определение. Полнота пространства R^n. Шар, внутренняя точка, открытое множество в метрическом пространстве, внутренность множества: определения. Доказательство того, что шар является открытым множеством. Свойства открытых множеств (3 свойства). Окрестность точки, предельная точка и изолированная точка множества: определения. Замкнутое множество в метрическом пространстве, замыкание множества: определения. Критерий замкнутости множества. Свойства замкнутых множеств (3 свойства). Компакт в метрическом пространстве: определение и свойства (замкнутость и ограниченность).

    • Лекция 13. Предел функции многих переменных

      Содержание лекции 13. Теорема Больцано-Вейерштрасса для пространства R^n, следствие (критерий для компактов в R^n). Прямая, луч и отрезок в R^n, выпуклое множество: определения. Кривая в R^n, связное множество, область: определения. Функция многих переменных: определение. Предел функции многих переменных в точке: определение и критерий существования предела в терминах последовательностей. Лемма о существовании предела функции, равного нулю. Примеры нахождения предела функции. Два примера функций, не имеющих предела в данной точке: f1(x,y) = 2xy/(x^2+y^2) в нуле и f2(x,y) = 2yx^2/(x^4+y^2) в нуле. Предел функции в точке по множеству и по направлению: определения, примеры нахождения предела функции по направлению, в том числе пример, показывающий, что из существования одинаковых пределов по всем направлениям в данной точке не следует существования предела в этой точке (функция f2(x,y) в нуле).

    • Лекция 14. Непрерывные функции. Дифференцируемые функции

      Содержание лекции 14. Повторные пределы функции двух переменных: определение. Примеры, показывающие, что из существования двойного предела не следует существования повторных пределов, а из существования и равенства повторных пределов не следует существования двойного предела. Непрерывность функции в точке и непрерывность функции в точке по множеству: определения. Пример функции, непрерывной в точке по любому лучу, но не являющейся непрерывной в этой точке. Теорема о непрерывности суперпозиции непрерывных функций многих переменных (без доказательства). Непрерывность функции на множестве: определение, две теоремы Вейерштрасса о функциях, непрерывных на компакте метрического пространства (без доказательства). Равномерная непрерывность функции на множестве: определение. Теорема Кантора о равномерной непрерывности на компакте. Теорема о промежуточных значениях функции, непрерывной на связном множестве. Частные производные первого порядка: определение. Дифференцируемость функции в точке: определение. Критерий дифференцируемости, следствие о непрерывности дифференцируемой функции.

    • Лекция 15. Условия дифференцируемости в терминах частных производных

      Содержание лекции 15. Пример непрерывной функции, не являющейся дифференцируемой (функция f4(x,y) = (x^3 + y^3)^(1/3) в нуле). Необходимое условие дифференцируемости функции в точке (существование в этой точке частных производных); примеры, показывающие, что данное условие не является достаточным. Достаточное условие дифференцируемости функции в точке (существование в окрестности этой точки частных производных и их непрерывность в этой точке).

    • Лекция 16. Дифференцируемость суперпозиции

      Содержание лекции 16. Пример, показывающий, что достаточное условие дифференцируемости в терминах непрерывных частных производных не является необходимым (функция (x^2 + y^2) * sin((x^2 + y^2)^(-1/2)), доопределенная в нуле значением 0). Теорема о дифференцируемости суперпозиции дифференцируемых функций многих переменных и формула для вычисления ее частных производных. Формула конечных приращений Лагранжа для функции многих переменных.

    • Лекция 17. Дифференциал

      Содержание лекции 17. Первый дифференциал функции: определение. Инвариантность формы первого дифференциала относительно замены переменных. Свойства дифференциала (3 свойства), доказательство одного из свойств двумя способами: непосредственно по определению и с использованием свойства инвариантности первого дифференциала. Вывод уравнения касательной прямой к гладкой кривой в данной точке. Вектор нормали к графику функции двух переменных в данной точке: определение, существование вектора нормали в случае дифференцируемой функции. Касательная плоскость к графику дифференцируемой функции, геометрический смысл дифференциала. Производная по направлению: определение.


    • Лекция 18. Градиент. Производные и дифференциалы высших порядков

      Содержание лекции 18. Производная по направлению: теорема о ее вычислении для дифференцируемой функции. Градиент: определение, связь градиента и производной по направлению. Экстремальное свойство направления, задаваемого градиентом. Оператор Гамильтона: определение и использование для записи градиента и производной по направлению. Частные производные высших порядков, смешанные производные: определения. Пример функции двух переменных, имеющей различные смешанные производные второго порядка в точке (функция xy(x^2-y^2)/(x^2+y^2), доопределенная в нуле значением 0). Теорема об условия совпадения смешанных производных по одним и тем же переменным (без доказательства). Дифференциалы высших порядков: определение. Неинвариантность второго дифференциала относительно замены переменных общего вида; инвариантность второго дифференциала относительно линейной замены переменных; следствие для дифференциалов высших порядков. Представление дифференциалов высших порядков с использованием оператора Гамильтона.

    • Лекция 19. Формула Тейлора

      Содержание лекции 19. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа для функции многих переменных. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано для функции многих переменных. Неявная функция, определяемая уравнением F(x,y)=0 в прямоугольнике: определение и примеры.

    • Лекция 20. Неявные функции (случай одного уравнения)

      Содержание лекции 20. Теорема о неявной функции, определяемой одним уравнением (достаточное условие существования и дифференцируемости неявной функции). Нахождение производных неявной функции с помощью формального дифференцирования исходного уравнения. Определитель Якоби (якобиан) системы функций: определение и свойство якобиана системы сложных функций.

    • Лекция 21. Неявные функции (случай системы уравнений)

      Содержание лекции 21. Неявные функции, определяемые системой уравнений в клеточной окрестности точки: определение. Достаточное условие существования и дифференцируемости системы неявных функций, определяемых системой уравнений (без доказательства). Нахождение частных производных неявных функций с помощью формального дифференцирования исходной системы уравнений. Отображение в метрическом пространстве R^n, непрерывно-дифференцируемое отображение и его якобиан, регулярное отображение: определения. Теорема о локальной регулярной обратимости регулярного отображения, следствие о связи якобианов взаимно обратных регулярных отображений. Точка локального экстремума (минимума, максимума) и строгого локального экстремума (минимума, максимума) функции многих переменных: определения. Необходимое условие экстремума (равенство нулю частных производных).

    • Лекция 22. Экстремумы функций многих переменных

      Содержание лекции 22. Следствие из необходимого условия экстремума (равенство нулю дифференциала). Стационарная точка дифференцируемой функции: определение, пример стационарной точки, не являющейся точкой экстремума. Лемма о неотрицательности второй производной функции одной переменной в точке минимума. Необходимое условие минимума (неотрицательность второго дифференциала), следствие (необходимое условие максимума); пример, показывающий, что данное условие не является достаточным. Положительно определенная, отрицательно определенная и неопределенная (знакопеременная) квадратичная форма: определения. Лемма об оценке снизу положительно определенной квадратичной формы. Достаточное условие экстремума (в терминах положительной/отрицательной определенности второго дифференциала). Критерий Сильвестра положительной и отрицательной определенности квадратичной формы (без доказательства). Достаточное условие экстремума функции двух переменных в терминах частных производных.