Тематический план

  • Общее

    Институт математики, механики и компьютерных наук им. И. И. Воровича

    Направление "Прикладная математика и информатика"

    2015/2016 уч. г., 1 курс, 2 семестр

    Лектор к. ф.-м. н., доцент кафедры алгебры и дискретной математики М. Э. Абрамян

    1. Первообразная и неопределенный интеграл
    • [2.1A/00:00 (16:47)] Определение первообразной и неопределенного интеграла
    • [2.1A/16:47 (12:44)] Таблица неопределенных интегралов
    • [2.1A/29:31 (09:54), 2.1B/00:00 (02:28)] Простейшие свойства неопределенного интеграла
    • [2.1B/02:28 (13:37)] Замена переменной в неопределенном интеграле
    • Формула интегрирования по частям
          [2.1B/16:05 (07:28)] Вывод формулы интегрирования по частям
          [2.1B/23:33 (12:42)] Примеры применения формулы интегрирования по частям
    2. Интегрирование рациональных функций
    • [2.1B/36:15 (11:49)] Разложение рациональной функции на простейшие дроби
    • [2.2A/00:00 (09:34)] Методы разложения рациональной функции
    • Интегрирование слагаемых в разложении рациональной функции на простейшие дроби
          [2.2A/09:34 (06:46)] Простые ситуации, основанные на непосредственном использовании таблицы интегралов
          [2.2A/16:20 (09:56)] Использование замены переменной
          [2.2A/26:16 (12:00)] Использование рекуррентного соотношения
    • [2.2B/00:00 (06:08)] Теорема об интегрировании рациональной функции
    3. Интегрирование тригонометрических функций
    • [2.2B/06:08 (03:45)] Рациональные выражения для тригонометрических функций
    • [2.2B/09:53 (04:18)] Универсальная тригонометрическая замена
    • [2.2B/14:11 (15:03)] Особенности применения универсальной тригонометрической замены
    • Другие виды замены переменной для тригонометрических выражений
          [2.2B/29:14 (08:12), 2.3A/00:00 (15:04)] Замены переменной, использующие функции косинус и синус
          [2.3A/15:04 (09:28)] Замена переменной, использующая функцию тангенс
          [2.3A/24:32 (05:08)] Применение нескольких вариантов замены переменной
    4. Интегрирование иррациональных функций
    • [2.3A/29:40 (08:42)] Интегрирование рациональной функции с иррациональным аргументом
    • [2.3A/38:22 (05:28), 2.3B/00:00 (03:45)] Обобщение на случай нескольких иррациональных аргументов
    • [2.3B/03:45 (15:59)] Интегрирование биномиального дифференциала
    • Подстановки Эйлера
          [2.3B/19:44 (12:18)] Три вида подстановок Эйлера
          [2.3B/32:02 (08:38)] О возможности применения подстановок Эйлера к любому квадратному трехчлену
    5. Определенный интеграл и суммы Дарбу
    • Определенный интеграл
          [2.4A/00:00 (07:00)] Задача о нахождении площади криволинейной трапеции
          [2.4A/07:00 (14:01)] Определение определенного интеграла
          [2.4A/21:01 (11:50)] Необходимое условие интегрируемости
    • Суммы и интегралы Дарбу
          [2.4A/32:51 (05:52)] Определение сумм Дарбу
          [2.4A/38:43 (01:33), 2.4B/00:00 (12:05)] Простейшие свойства сумм Дарбу
          [2.4B/12:05 (15:11)] Свойство сумм Дарбу для измельчения разбиения
          [2.4B/27:16 (05:14)] Суммы Дарбу, связанные с различными разбиениями
          [2.4B/32:30 (07:05)] Интегралы Дарбу
    • Критерий интегрируемости в терминах сумм Дарбу
          [2.5A/00:00 (09:13)] Формулировка критерия интегрируемости
          [2.5A/09:13 (09:43)] Доказательство необходимости
          [2.5A/18:56 (14:25)] Доказательство достаточности
          [2.5A/33:21 (08:48)] Следствие из критерия и пример неинтегрируемой функции
    6. Классы интегрируемых функций. Свойства определенного интеграла
    • Классы интегрируемых функций
          [2.5B/00:00 (02:05)] Простейший пример интегрируемой функции: постоянная функция
          [2.5B/02:05 (04:12)] Колебание функции и его использование в критерии интегрируемости
          [2.5B/06:17 (13:33)] Интегрируемость непрерывных функций
          [2.5B/19:50 (10:18)] Интегрируемость монотонных функций
    • Свойства интеграла, связанные с подынтегральными функциями
          [2.5B/30:08 (09:46)] Линейность определенного интеграла
          [2.6A/00:00 (16:44)] Интегрируемость произведения
    • Свойства, связанные с промежутками интегрирования
          [2.6A/16:44 (07:03)] Интегрируемость на вложенном отрезке
          [2.6A/23:47 (06:27)] Первая теорема об аддитивности интеграла относительно промежутка интегрирования
          [2.6A/30:14 (11:39)] Вторая теорема об аддитивности интеграла относительно промежутка интегрирования
    • Оценки интегралов
          [2.6A/41:53 (01:17), 2.6B/00:00 (06:47)] Простейшие оценки интегралов
          [2.6B/06:47 (11:25)] Интеграл от положительной непрерывной функции
          [2.6B/18:12 (16:20)] Свойства интеграла от модуля функции
    • Интегральные теоремы о среднем
          [2.6B/34:32 (10:39)] Первая теорема о среднем
          [2.7A/00:00 (12:56)] Вторая и третья теоремы о среднем
    7. Интеграл с переменным верхним пределом. Формула Ньютона–Лейбница
    • Интеграл с переменным верхним пределом
          [2.7A/12:56 (04:01)] Определение интеграла с переменным верхним пределом
          [2.7A/16:57 (16:48)] Теорема о непрерывности интеграла с переменным верхним пределом
          [2.7A/33:45 (13:39), 2.7B/00:00 (04:04)] Теорема о дифференцируемости интеграла с переменным верхним пределом от непрерывной функции
    • Формула Ньютона–Лейбница
          [2.7B/04:04 (06:23)] Теоремы о первообразных для непрерывных функций
          [2.7B/10:27 (05:55)] Формула Ньютона–Лейбница
    • Дополнительные приемы вычисления определенных интегралов
          [2.7B/16:22 (11:37)] Замена переменной в определенном интеграле
          [2.7B/27:59 (09:28)] Следствия из теоремы о замене переменной в определенном интеграле
          [2.8A/00:00 (10:45)] Вариант формулировки теоремы о замене переменной в определенном интеграле
          [2.8A/10:45 (04:49)] Формула интегрирования по частям для определенного интеграла
    8. Вычисление площадей и объемов
    • Квадрируемые фигуры на плоскости
          [2.8A/15:34 (09:49)] Фигуры на плоскости. Клеточные фигуры
          [2.8A/25:23 (12:33)] Квадрируемая фигура и ее площадь
          [2.8A/37:56 (03:38)] Критерий квадрируемости фигуры
    • Площадь криволинейной трапеции и криволинейного сектора
          [2.8B/00:00 (13:27)] Теорема о площади криволинейной трапеции: формулировка и доказательство квадрируемости
          [2.8B/13:27 (07:27)] Доказательство формулы площади криволинейной трапеции
          [2.8B/20:54 (05:15)] Теорема о площади фигуры с двумя криволинейными частями границы
          [2.8B/26:09 (07:57)] Вычисление площади эллипса. Круговой и криволинейный сектор
          [2.9A/00:00 (15:06)] Теорема о площади криволинейного сектора: формулировка и доказательство квадрируемости
          [2.9A/15:06 (04:48)] Доказательство формулы площади криволинейного сектора
    • Вычисление объемов
          [2.9A/19:54 (11:52)] Кубируемые тела в трехмерном пространстве
          [2.9B/00:00 (13:57)] Цилиндрическое тело и его объем
          [2.9B/13:57 (09:58)] Объем тела вращения
          [2.9B/23:55 (05:47)] Объем тела с заданными площадями поперечных сечений
    9. Кривые и вычисление их длины
    • Вектор-функции и их свойства
          [2.9B/29:42 (04:28)] Определение вектор-функции
          [2.9B/34:10 (07:39), 2.10A/00:00 (02:14)] Определение предела вектор-функции
          [2.10A/02:14 (06:17)] Критерий сходимости вектор-функции в терминах ее координатных функций
          [2.10A/08:31 (05:53)] Арифметические свойства предела вектор-функций
    • Дифференцируемые вектор-функции
          [2.10A/14:24 (06:37)] Непрерывность и дифференцируемость вектор-функций: определения
          [2.10A/21:01 (05:13)] Арифметические свойства дифференцируемых вектор-функций
    • Теорема Лагранжа для вектор-функций
          [2.10A/26:14 (06:35)] Нарушение равенства из теоремы Лагранжа в случае вектор-функций
          [2.10A/32:49 (10:25), 2.10B/00:00 (03:45)] Вариант теоремы Лагранжа для вектор-функций
    • Кривые в пространстве. Спрямляемые кривые
          [2.10B/03:45 (05:36)] Простые кривые
          [2.10B/09:21 (07:27)] Спрямляемая кривая и ее длина
    • Свойства непрерывно дифференцируемых кривых
          [2.10B/16:48 (10:04)] Теорема о спрямляемости непрерывно дифференцируемой кривой
          [2.10B/26:52 (14:04)] Теорема о производной для длины начального участка кривой
    • Варианты формулы для нахождения длины кривой
          [2.10B/40:56 (03:02)] Формула для длины кривой, заданной с помощью вектор-функции
          [2.11A/00:00 (04:25)] Формулы для длины кривой, заданной в декартовой системе координат
          [2.11A/04:25 (06:33)] Формула для длины кривой, заданной в полярной системе координат

    1. Antiderivative and indefinite integral
    • [2.1A/00:00 (16:47)] Definition of an antiderivative and indefinite integral
    • [2.1A/16:47 (12:44)] Table of indefinite integrals
    • [2.1A/29:31 (09:54), 2.1B/00:00 (02:28)] The simplest properties of an indefinite integral
    • [2.1B/02:28 (13:37)] Change of variables in an indefinite integral
    • Formula of integration by parts
          [2.1B/16:05 (07:28)] Derivation of the formula of integration by parts
          [2.1B/23:33 (12:42)] Examples of applying the formula of integration by parts
    2. Integration of rational functions
    • [2.1B/36:15 (11:49)] Partial fraction decomposition of a rational function
    • [2.2A/00:00 (09:34)] Methods for finding the decomposition of a rational function
    • Integration of terms in the partial fraction decomposition of a rational function
          [2.2A/09:34 (06:46)] Simple cases based on the direct use of the table of integrals
          [2.2A/16:20 (09:56)] Using change of variable
          [2.2A/26:16 (12:00)] Using recurrence relation
    • [2.2B/00:00 (06:08)] Theorem on the integration of a rational function
    3. Integration of trigonometric functions
    • [2.2B/06:08 (03:45)] Rational expressions for trigonometric functions
    • [2.2B/09:53 (04:18)] Universal trigonometric substitution
    • [2.2B/14:11 (15:03)] Features of the use of universal trigonometric substitution
    • Other types of variable change for trigonometric expressions
          [2.2B/29:14 (08:12), 2.3A/00:00 (15:04)] Variable change using the cosine and sine functions
          [2.3A/15:04 (09:28)] Variable change using the tangent function
          [2.3A/24:32 (05:08)] Using multiple variable changes
    4. Integration of irrational functions
    • [2.3A/29:40 (08:42)] Integration of a rational function with an irrational argument
    • [2.3A/38:22 (05:28), 2.3B/00:00 (03:45)] Generalization to the case of several irrational arguments
    • [2.3B/03:45 (15:59)] Integration of the binomial differential
    • Euler's substitutions
          [2.3B/19:44 (12:18)] Three types of Euler's substitutions
          [2.3B/32:02 (08:38)] On the possibility of applying Euler's substitutions to any quadratic trinomial
    5. Definite integral and Darboux sums
    • Definite integral
          [2.4A/00:00 (07:00)] The problem of finding the area of a curvilinear trapezoid
          [2.4A/07:00 (14:01)] Definition of a definite integral
          [2.4A/21:01 (11:50)] A necessary condition for integrability
    • Darboux sums and Darboux integrals
          [2.4A/32:51 (05:52)] Definition of Darboux sums
          [2.4A/38:43 (01:33), 2.4B/00:00 (12:05)] The simplest properties of Darboux sums
          [2.4B/12:05 (15:11)] Darboux sum property related to refinement of a partition
          [2.4B/27:16 (05:14)] Darboux sums associated with different partitions
          [2.4B/32:30 (07:05)] Darboux integrals
    • Integrability criterion in terms of Darboux sums
          [2.5A/00:00 (09:13)] Formulation of the integrability criterion
          [2.5A/09:13 (09:43)] Proof of necessity
          [2.5A/18:56 (14:25)] Proof of sufficiency
          [2.5A/33:21 (08:48)] Corollary of the criterion and an example of a non-integrable function
    6. Classes of integrable functions. Properties of a definite integral
    • Classes of integrable functions
          [2.5B/00:00 (02:05)] The simplest example of an integrable function: a constant function
          [2.5B/02:05 (04:12)] Oscillation of a function and its use in integrability criterion
          [2.5B/06:17 (13:33)] Integrability of continuous functions
          [2.5B/19:50 (10:18)] Integrability of monotone functions
    • Integral properties associated with integrands
          [2.5B/30:08 (09:46)] Linearity of a definite integral
          [2.6A/00:00 (16:44)] Integrability of the product
    • Properties associated with integration segments
          [2.6A/16:44 (07:03)] Integrability on a nested segment
          [2.6A/23:47 (06:27)] The first theorem on the additivity of a definite integral with respect to the integration segment
          [2.6A/30:14 (11:39)] The second theorem on the additivity of a definite integral with respect to the integration segment
    • Estimates for integrals
          [2.6A/41:53 (01:17), 2.6B/00:00 (06:47)] Simple estimates of integrals
          [2.6B/06:47 (11:25)] Integral of a positive continuous function
          [2.6B/18:12 (16:20)] Properties of the integral of the absolute value of a function
    • Mean value theorems for definite integrals
          [2.6B/34:32 (10:39)] The first mean value theorem
          [2.7A/00:00 (12:56)] The second and the third mean value theorems
    7. Integral with a variable upper limit. Newton–Leibniz formula
    • Integral with a variable upper limit
          [2.7A/12:56 (04:01)] Definition of an integral with a variable upper limit
          [2.7A/16:57 (16:48)] Theorem on the continuity of an integral with a variable upper limit
          [2.7A/33:45 (13:39), 2.7B/00:00 (04:04)] Theorem on the differentiability of an integral with a variable upper limit and a continuous integrand
    • Newton–Leibniz formula
          [2.7B/04:04 (06:23)] Theorems on antiderivatives for continuous functions
          [2.7B/10:27 (05:55)] Newton–Leibniz formula
    • Additional techniques for calculating definite integrals
          [2.7B/16:22 (11:37)] Change of variables in a definite integral
          [2.7B/27:59 (09:28)] Corollaries of the theorem on the change of variables in a definite integral
          [2.8A/00:00 (10:45)] Version of the theorem on the change of variables in a definite integral
          [2.8A/10:45 (04:49)] Integration formula by parts for a definite integral
    8. Calculation of areas and volumes
    • Quadrable figures on a plane
          [2.8A/15:34 (09:49)] Plane figures. Cell figures
          [2.8A/25:23 (12:33)] Squarable figure and its area
          [2.8A/37:56 (03:38)] Criterion for the squarability of a figure
    • Area of a curvilinear trapezoid and area of a curvilinear sector
          [2.8B/00:00 (13:27)] Theorem on the area of a curvilinear trapezoid: formulation and proof of squarability
          [2.8B/13:27 (07:27)] Proof of the formula of the curvilinear trapezoid area
          [2.8B/20:54 (05:15)] Theorem on the area of a figure with two curvilinear boundary parts
          [2.8B/26:09 (07:57)] Calculation of the area of an ellipse. Circular sector and curvilinear sector
          [2.9A/00:00 (15:06)] Theorem on the area of a curvilinear sector: formulation and proof of squarability
          [2.9A/15:06 (04:48)] Proof of the curvilinear sector area formula
    • Volume calculation
          [2.9A/19:54 (11:52)] Cubable solids
          [2.9B/00:00 (13:57)] Cylindrical solid and its volume
          [2.9B/13:57 (09:58)] Volume of a solid of revolution
          [2.9B/23:55 (05:47)] Volume of a solid with given cross-sectional areas
    9. Curves and calculating their length
    • Vector functions and their properties
          [2.9B/29:42 (04:28)] Vector functions
          [2.9B/34:10 (07:39), 2.10A/00:00 (02:14)] The limit of a vector function
          [2.10A/02:14 (06:17)] Convergence criterion of a vector function in terms of its coordinate functions
          [2.10A/08:31 (05:53)] Arithmetic properties of the limit of vector functions
    • Differentiable vector functions
          [2.10A/14:24 (06:37)] Continuity and differentiability of vector functions
          [2.10A/21:01 (05:13)] Arithmetic properties of differentiable vector functions
    • Lagrange's theorem for vector functions
          [2.10A/26:14 (06:35)] Violation of the equality from Lagrange's theorem in the case of vector functions
          [2.10A/32:49 (10:25), 2.10B/00:00 (03:45)] A version of Lagrange's theorem for vector functions
    • Curves in three-dimensional space. Rectifiable curves
          [2.10B/03:45 (05:36)] Simple curves
          [2.10B/09:21 (07:27)] Rectifiable curve and its length
    • Properties of continuously differentiable curves
          [2.10B/16:48 (10:04)] The theorem on the rectifiability of a continuously differentiable curve
          [2.10B/26:52 (14:04)] Theorem on the derivative for the length of the initial part of a curve
    • Versions of the formula for finding the length of a curve
          [2.10B/40:56 (03:02)] Formula for the length of a curve specified by a vector function
          [2.11A/00:00 (04:25)] Formulas for the length of a curve specified in the Cartesian coordinate system
          [2.11A/04:25 (06:33)] Formula for the length of a curve specified in the polar coordinate system

    • Лекция 1. Неопределенный интеграл

      Содержание лекции 1. Первообразная: определение. Теорема о связи различных первообразных одной функции. Неопределенный интеграл: определение. Таблица неопределенных интегралов. Свойства неопределенного интеграла (производная неопределенного интеграла и неопределенный интеграл от производной, линейность неопределенного интеграла). Замена переменных в неопределенном интеграле, примеры. Формула интегрирования по частям для неопределенного интеграла, примеры.


    • Лекция 2. Интегрирование рациональных функций

      Содержание лекции 2. Рациональная функция: определение, теорема о разложении рациональной функции (без доказательства), метод неопределенных коэффициентов для нахождения разложения. Теорема об интегрировании рациональных функций. Полиномы и рациональные функции двух переменных: определение. Универсальная тригонометрическая подстановка и особенности ее применения, вызванные сужением области определения (на примере интеграла от функции sin^2(x) + cos^2(x)).


    • Лекция 3. Интегрирование тригонометрических и иррациональных функций

      Содержание лекции 3. Теорема о преобразовании рациональной функции R(u, v) при выполнении одного из условий: R(-u, v) = -R(u, v), R(u, -v) = -R(u, v), R(-u, -v) = R(u, v); представление функции R(u, v) общего вида как суммы функций, удовлетворяющих указанным условиям. Следствие о тригонометрических подстановках для функции R(sin x, cos x) в указанных частных случаях. Интегралы от функции R(x, ((ax+b)/(cx+d))^p) при ad - bc <> 0, где R - рациональная функция двух переменных; обобщение на случай рациональной функции n переменных. Интегрирование биномиального дифференциала x^m (a + bx^n)^p dx; три случая сведения к рациональной функции. Три подстановки Эйлера для интегрирования выражений вида R(x, (ax^2+bx+c)^(1/2)); теорема о том, что эти выражения всегда можно свести к рациональной функции.

    • Лекция 4. Определенный интеграл. Суммы Дарбу

      Содержание лекции 4. Разбиение отрезка, мелкость разбиения, выборка, интегральная сумма для функции f при заданном разбиении и фиксированной выборке: определения. Определенный интеграл функции f на отрезке: определение. Ограниченность функции как необходимое условие ее интегрируемости. Нижняя S- и верхняя S+ суммы Дарбу: определение и свойства (два свойства о связи сумм Дарбу с интегральными суммами, свойство о суммах Дарбу для измельчения разбиения, неравенство для нижней и верхней суммы Дарбу по произвольным разбиениям, существование sup S- и inf S+ - нижнего и верхнего интегралов Дарбу).

    • Лекция 5. Классы интегрируемых функций

      Содержание лекции 5. Критерий интегрируемости функции в терминах сумм Дарбу. Пример ограниченной функции, не являющейся интегрируемой (функция Дирихле). Пример интегрируемой функции (f(x) = const). Колебание функции на отрезке: определение, условие интегрируемости функции в терминах колебания функции. Теорема об интегрируемости функции, непрерывной на отрезке. Теорема об интегрируемости функции, монотонной на отрезке. Свойства определенного интеграла: интегрируемость линейной комбинации интегрируемых функций.

    • Лекция 6. Свойства определенного интеграла

      Содержание лекции 6. Интегрируемость произведения интегрируемых функций. Свойства, связанные с отрезками интегрирования (теорема об интегрируемости функции на меньшем отрезке; теорема о равенстве интеграла по отрезку [a, b] сумме интегралов по отрезкам [a, c] и [c, b]; расширение понятия интеграла и обобщение предыдущей теоремы). Оценки интегралов (теорема о неотрицательности интеграла от неотрицательной функции, следствия о сравнении интегралов; теорема о положительности интеграла от неотрицательной функции, принимающей в некоторой точке положительное значение и непрерывной в этой точке; теорема об интегрируемости модуля функции и оценка модуля интеграла). Интегральная теорема о среднем (теорема об интеграле произведения fg, где f и g интегрируемы, а g не меняет знака).

    • Лекция 7. Формула Ньютона-Лейбница

      Содержание лекции 7. Интегральные теоремы о среднем (продолжение). Интеграл с переменным верхним пределом: определение. Теорема о непрерывности интеграла с переменным верхним пределом. Теорема о дифференцируемости интеграла с переменным верхним пределом в точке x0 при условии непрерывности подынтегральной функции в этой точке. Теорема о существовании первообразной у непрерывной функции и выражение этой первообразной через интеграл с переменным верхним пределом. Формула Ньютона-Лейбница и ее доказательство для случая непрерывной на отрезке функции. Теорема о замене переменной в определенном интеграле, следствия: интегралы от нечетной и четной непрерывной функции на отрезке [-a, a].


    • Лекция 8. Вычисление площадей

      Содержание лекции 8. Следствия из теоремы о замене переменной (продолжение): интеграл от периодической непрерывной функции на отрезке [a, a + T], где T - период функции. Теорема об интегрировании по частям для определенного интеграла. Плоская фигура, прямоугольник, клеточная фигура, площади прямоугольника и клеточной фигуры: определения. Квадрируемая фигура и ее площадь: определения. Существование и единственность площади для любой квадрируемой фигуры (без доказательства). Необходимое и достаточное условие квадрируемости плоской фигуры (без доказательства). Криволинейная трапеция: определение, теорема о площади криволинейной трапеции; следствие о площади фигуры, ограниченной графиками двух непрерывных функций и отрезками вертикальных прямых. Площадь эллипса.

    • Лекция 9. Вычисление объемов

      Содержание лекции 9. Теорема о площади криволинейного сектора. Тело, параллелепипед, клеточное тело, объемы параллелепипеда и клеточного тела: определения. Кубируемое тело и его объем: определения. Существование и единственность объема для любого кубируемого тела (без доказательства). Цилиндрическое тело: определение, теорема об объеме цилиндрического тела. Теорема об объеме тела вращения. Теорема об объеме тела с заданными площадями поперечных сечений (без доказательства). Вектор-функция: определение. Предел вектор-функции: определение.

    • Лекция 10. Вектор-функции. Вычисление длины кривой

      Содержание лекции 10. Критерий существования предела вектор-функции в терминах существования предела ее координатных функций. Арифметические свойства пределов вектор-функций. Непрерывность вектор-функции, производная вектор-функции: определения. Правила дифференцирования вектор-функций. Теорема Лагранжа для вектор-функций. Простая кривая, параметризуемая кривая, замкнутая кривая, простой контур: определения. Спрямляемая кривая и ее длина: определения. Непрерывно дифференцируемая кривая: определение, спрямляемость непрерывно дифференцируемой кривой и оценка для ее длины. Теорема о производной переменной длины дуги непрерывно дифференцируемой кривой и ее следствие - формула длины кривой, заданной уравнением r = r(t).


    • Лекция 11. Метрические пространства

      Содержание лекции 11. Варианты формулы длины кривой. Метрическое пространство: определение. Три примера метрики на плоскости: евклидова, максимум модулей разностей координат, сумма модулей разностей координат. Метрическое пространство R^n: определение. Неравенства Коши и Минковского, доказательство неравенства треугольника для евклидовой метрики в R^n. Пример метрического пространства, отличного от R^n (пространство ограниченных функций на отрезке). Сходящаяся последовательность и ограниченная последовательность в метрическом пространстве: определения. Свойства сходящихся последовательностей в произвольном метрическом пространстве (ограниченность сходящейся последовательности и единственность предела сходящейся последовательности). Критерий сходимости последовательности в R^n в терминах сходимости последовательностей ее координат. Фундаментальная последовательность: определение. Фундаментальность сходящейся последовательности.

    • Лекция 12. Открытые и замкнутые множества

      Содержание лекции 12. Полное метрическое пространство: определение. Полнота пространства R^n. Шар, внутренняя точка, открытое множество в метрическом пространстве, внутренность множества: определения. Доказательство того, что шар является открытым множеством. Свойства открытых множеств (3 свойства). Окрестность точки, предельная точка и изолированная точка множества: определения. Замкнутое множество в метрическом пространстве, замыкание множества: определения. Критерий замкнутости множества. Свойства замкнутых множеств (3 свойства). Компакт в метрическом пространстве: определение и свойства (замкнутость и ограниченность).

    • Лекция 13. Предел функции многих переменных

      Содержание лекции 13. Теорема Больцано-Вейерштрасса для пространства R^n, следствие (критерий для компактов в R^n). Прямая, луч и отрезок в R^n, выпуклое множество: определения. Кривая в R^n, связное множество, область: определения. Функция многих переменных: определение. Предел функции многих переменных в точке: определение и критерий существования предела в терминах последовательностей. Лемма о существовании предела функции, равного нулю. Примеры нахождения предела функции. Два примера функций, не имеющих предела в данной точке: f1(x,y) = 2xy/(x^2+y^2) в нуле и f2(x,y) = 2yx^2/(x^4+y^2) в нуле. Предел функции в точке по множеству и по направлению: определения, примеры нахождения предела функции по направлению, в том числе пример, показывающий, что из существования одинаковых пределов по всем направлениям в данной точке не следует существования предела в этой точке (функция f2(x,y) в нуле).

    • Лекция 14. Непрерывные функции. Дифференцируемые функции

      Содержание лекции 14. Повторные пределы функции двух переменных: определение. Примеры, показывающие, что из существования двойного предела не следует существования повторных пределов, а из существования и равенства повторных пределов не следует существования двойного предела. Непрерывность функции в точке и непрерывность функции в точке по множеству: определения. Пример функции, непрерывной в точке по любому лучу, но не являющейся непрерывной в этой точке. Теорема о непрерывности суперпозиции непрерывных функций многих переменных (без доказательства). Непрерывность функции на множестве: определение, две теоремы Вейерштрасса о функциях, непрерывных на компакте метрического пространства (без доказательства). Равномерная непрерывность функции на множестве: определение. Теорема Кантора о равномерной непрерывности на компакте. Теорема о промежуточных значениях функции, непрерывной на связном множестве. Частные производные первого порядка: определение. Дифференцируемость функции в точке: определение. Критерий дифференцируемости, следствие о непрерывности дифференцируемой функции.

    • Лекция 15. Условия дифференцируемости в терминах частных производных

      Содержание лекции 15. Пример непрерывной функции, не являющейся дифференцируемой (функция f4(x,y) = (x^3 + y^3)^(1/3) в нуле). Необходимое условие дифференцируемости функции в точке (существование в этой точке частных производных); примеры, показывающие, что данное условие не является достаточным. Достаточное условие дифференцируемости функции в точке (существование в окрестности этой точки частных производных и их непрерывность в этой точке).

    • Лекция 16. Дифференцируемость суперпозиции

      Содержание лекции 16. Пример, показывающий, что достаточное условие дифференцируемости в терминах непрерывных частных производных не является необходимым (функция (x^2 + y^2) * sin((x^2 + y^2)^(-1/2)), доопределенная в нуле значением 0). Теорема о дифференцируемости суперпозиции дифференцируемых функций многих переменных и формула для вычисления ее частных производных. Формула конечных приращений Лагранжа для функции многих переменных.

    • Лекция 17. Дифференциал

      Содержание лекции 17. Первый дифференциал функции: определение. Инвариантность формы первого дифференциала относительно замены переменных. Свойства дифференциала (3 свойства), доказательство одного из свойств двумя способами: непосредственно по определению и с использованием свойства инвариантности первого дифференциала. Вывод уравнения касательной прямой к гладкой кривой в данной точке. Вектор нормали к графику функции двух переменных в данной точке: определение, существование вектора нормали в случае дифференцируемой функции. Касательная плоскость к графику дифференцируемой функции, геометрический смысл дифференциала. Производная по направлению: определение.


    • Лекция 18. Градиент. Производные и дифференциалы высших порядков

      Содержание лекции 18. Производная по направлению: теорема о ее вычислении для дифференцируемой функции. Градиент: определение, связь градиента и производной по направлению. Экстремальное свойство направления, задаваемого градиентом. Оператор Гамильтона: определение и использование для записи градиента и производной по направлению. Частные производные высших порядков, смешанные производные: определения. Пример функции двух переменных, имеющей различные смешанные производные второго порядка в точке (функция xy(x^2-y^2)/(x^2+y^2), доопределенная в нуле значением 0). Теорема об условия совпадения смешанных производных по одним и тем же переменным (без доказательства). Дифференциалы высших порядков: определение. Неинвариантность второго дифференциала относительно замены переменных общего вида; инвариантность второго дифференциала относительно линейной замены переменных; следствие для дифференциалов высших порядков. Представление дифференциалов высших порядков с использованием оператора Гамильтона.

    • Лекция 19. Формула Тейлора

      Содержание лекции 19. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа для функции многих переменных. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано для функции многих переменных. Неявная функция, определяемая уравнением F(x,y)=0 в прямоугольнике: определение и примеры.

    • Лекция 20. Неявные функции (случай одного уравнения)

      Содержание лекции 20. Теорема о неявной функции, определяемой одним уравнением (достаточное условие существования и дифференцируемости неявной функции). Нахождение производных неявной функции с помощью формального дифференцирования исходного уравнения. Определитель Якоби (якобиан) системы функций: определение и свойство якобиана системы сложных функций.

    • Лекция 21. Неявные функции (случай системы уравнений)

      Содержание лекции 21. Неявные функции, определяемые системой уравнений в клеточной окрестности точки: определение. Достаточное условие существования и дифференцируемости системы неявных функций, определяемых системой уравнений (без доказательства). Нахождение частных производных неявных функций с помощью формального дифференцирования исходной системы уравнений. Отображение в метрическом пространстве R^n, непрерывно-дифференцируемое отображение и его якобиан, регулярное отображение: определения. Теорема о локальной регулярной обратимости регулярного отображения, следствие о связи якобианов взаимно обратных регулярных отображений. Точка локального экстремума (минимума, максимума) и строгого локального экстремума (минимума, максимума) функции многих переменных: определения. Необходимое условие экстремума (равенство нулю частных производных).

    • Лекция 22. Экстремумы функций многих переменных

      Содержание лекции 22. Следствие из необходимого условия экстремума (равенство нулю дифференциала). Стационарная точка дифференцируемой функции: определение, пример стационарной точки, не являющейся точкой экстремума. Лемма о неотрицательности второй производной функции одной переменной в точке минимума. Необходимое условие минимума (неотрицательность второго дифференциала), следствие (необходимое условие максимума); пример, показывающий, что данное условие не является достаточным. Положительно определенная, отрицательно определенная и неопределенная (знакопеременная) квадратичная форма: определения. Лемма об оценке снизу положительно определенной квадратичной формы. Достаточное условие экстремума (в терминах положительной/отрицательной определенности второго дифференциала). Критерий Сильвестра положительной и отрицательной определенности квадратичной формы (без доказательства). Достаточное условие экстремума функции двух переменных в терминах частных производных.