Оглавление секции
-
Институт математики, механики и компьютерных наук им. И. И. Воровича
Направление "Прикладная математика и информатика"
2017/2018 уч. г., 1 курс, 1 семестр
Лектор к. ф.-м. н., доцент кафедры алгебры и дискретной математики М. Э. Абрамян
1. Границы множеств
• [1A/00:00 (09:55)] Аксиома непрерывности множества вещественных чисел
• Границы и точные границы числовых множеств
[1A/09:55 (16:59)] Ограниченные числовые множества: основные определения
[1A/26:54 (03:38)] Точные границы числовых множеств: первый вариант определения
[1A/30:32 (06:43)] Теоремы о существовании точных границ
[1B/00:00 (13:34)] Точные границы числовых множеств: второй вариант определения
[1B/13:34 (11:02)] Максимальный и минимальный элемент множества
[2A/00:00 (03:23)] Единственность точных границ
• Арифметические операции над множествами
[1B/24:36 (06:09)] Арифметические операции над множествами: определения
[1B/30:45 (12:50)] Теоремы о точных границах для суммы множеств
[2A/03:23 (04:13)] Теоремы о точных границах для произведения множества на число
2. Предел последовательности
• Окрестность и симметричная окрестность точки
[2A/07:36 (13:32)] Окрестность и симметричная окрестность: определение и свойства
[3A/00:00 (01:21)] Дополнение. Пересечение окрестностей
• Определение предела последовательности
[2A/21:08 (06:29)] Последовательность: определение и примеры
[2A/27:37 (07:52)] Как определить предел последовательности?
[2A/35:29 (05:33), 2B/00:00 (01:07)] Определение предела последовательности на языке окрестностей
[2B/01:07 (19:41)] Определение предела последовательности на языке симметричных окрестностей
[2B/20:48 (11:47)] Примеры нахождения предела последовательности с использованием определения
[2B/32:35 (08:29)] Пример последовательности, не имеющей предела
• Простейшие свойства предела последовательности
[3A/01:21 (13:39)] Теорема о единственности предела сходящейся последовательности
[3A/15:00 (12:09)] Теорема об ограниченности сходящейся последовательности
3. Свойства предела последовательности
• [3A/27:09 (18:15)] Бесконечно малые последовательности: определение и свойства
• [3B/00:00 (13:57)] Критерий сходимости последовательности в терминах бесконечно малых последовательностей
• Арифметические свойства предела последовательности
[3B/13:57 (11:16)] Формулировка теоремы об арифметических свойствах пределаи доказательство для предела суммы
[3B/25:13 (06:00)] Доказательство для предела произведения
[3B/31:13 (11:13)] Доказательство для предела частного
• Переход к пределу в неравенствах
[4A/00:00 (13:32)] Первая теорема
[4A/13:32 (12:50)] Вторая теорема
4. Бесконечные пределы
• [4A/26:22 (04:59)] Окрестности бесконечно удаленных точек
• Бесконечно большие последовательности
[4A/31:21 (04:57), 4B/00:00 (11:24)] Определения и примеры
[4B/11:24 (08:34)] Теорема о единственности предела бесконечно большой последовательности
• [4B/19:58 (15:10)] Арифметические свойства бесконечно больших последовательностей
5. Монотонные последовательности
• [5A/00:00 (08:57)] Ограниченные и монотонные последовательности: определения
• Сходимость монотонных последовательностей
[5A/08:57 (15:50)] Признак сходимости для монотонных ограниченных последовательностей
[5A/24:47 (04:52)] Критерий сходимости монотонных последовательностей
• Примеры применения теоремы о сходимости монотонных последовательностей
[5A/29:39 (08:43), 5B/00:00 (02:36)] Пример 1: x_n = 1/q^n
[5B/02:36 (11:54)] Пример 2: x_n = n/q^n
[5B/14:30 (12:26)] Другие примеры
[5B/26:56 (13:26), 6A/00:00 (11:32)] Предел последовательности (1+1/n)^n и неравенство Бернулли
[6A/11:32 (08:40)] Возрастание последовательности (1+1/n)^n
6. Теорема о вложенных сегментах и теорема Больцано-Коши о предельной точке
• Теорема о вложенных сегментах
[6A/20:12 (07:11)] Последовательность вложенных сегментов и последовательность стягивающихся сегментов: определения и примеры
[6A/27:23 (13:30)] Теорема о вложенных сегментах
• Предельные точки множества. Теорема Больцано-Коши
[6B/00:00 (09:53)] Предельные точки множества: два определения, доказательство их эквивалентности
[6B/09:53 (16:30)] Теорема Больцано-Коши о предельной точке
7. Подпоследовательности. Критерий Коши
• Подпоследовательности. Теорема Больцано-Вейерштрасса
[6B/26:23 (05:32)] Подпоследовательности: определение и примеры
[6B/31:55 (11:27)] Теорема о подпоследовательностях сходящейся последовательности
[7A/00:00 (15:54)] Теорема Больцано-Вейерштрасса о сходящейся подпоследовательности
[7A/15:54 (08:57)] Следствие
[7A/24:51 (04:55)] Пример неограниченной последовательности, не имеющей предела
• Фундаментальные последовательности. Критерий Коши сходимости последовательности
[7A/29:46 (04:25)] Фундаментальные последовательности: определение
[7A/34:11 (05:20), 7B/00:00 (26:41)] Критерий Коши сходимости последовательности
8. Предел функции
• Определение и единственность предела функции
[7B/26:41 (19:39)] Различные определения предела функции и их эквивалентность
[8A/00:00 (12:21)] Теорема о единственности предела функции
• Критерий существования предела функции в терминах последовательностей
[8A/12:21 (03:49)] Формулировка критерия
[8A/16:10 (11:56)] Доказательство необходимости
[8B/00:00 (13:41)] Доказательство достаточности
• [8B/13:41 (20:11)] Примеры функций, имеющих и не имеющих пределы
• [8B/33:52 (08:22)] Пределы функции в бесконечно удаленных точках и бесконечные пределы
9. Свойства предела функции
• [9A/00:00 (19:33)] Предел функции и арифметические операции
• [9A/19:33 (15:26)] Переход к пределу в неравенствах для функций
• Теорема о пределе суперпозиции функций
[9B/00:00 (23:05)] Формулировка и доказательство
[9B/23:05 (09:53)] Пример, показывающий важность условия 3 теоремы о пределе суперпозиции
10. Односторонние пределы. Некоторые~важные~пределы функций
• [10A/00:00 (07:32)] Определение односторонних пределов функций
• [10A/07:32 (14:50)] Критерий существования предела функции в терминах односторонних пределов
• [10A/22:22 (20:00)] Первый замечательный предел
• [10B/00:00 (25:30)] Второй замечательный предел
11. Пределы монотонных ограниченных функций. Критерий Коши для функций
• Монотонные и ограниченные функции
[10B/25:30 (10:13)] Монотонные и ограниченные функции: определения
[10B/35:43 (02:35), 11A/00:00 (16:34)] Теоремы о пределах монотонных ограниченных функций
• Критерий Коши существования предела функции
[11A/16:34 (09:39)] Формулировка критерия и доказательство необходимости
[11A/26:13 (12:19), 11B/00:00 (12:04)] Доказательство достаточности
12. Непрерывность функции в точке
• [11B/12:04 (09:27)] Определение непрерывной функции в точке
• [11B/21:31 (09:55)] Примеры непрерывных функций
• [11B/31:26 (08:09)] Простейшие свойства непрерывных функций
• [11B/39:35 (06:02)] Арифметические свойства непрерывных функций
• Суперпозиция непрерывных функций
[12A/00:00 (17:50)] Теорема о пределе суперпозиции в случае, когда внешняя функция непрерывна
[12A/17:50 (05:29)] Непрерывность суперпозиции непрерывных функций
[12A/23:19 (17:34), 12B/00:00 (08:27)] Доказательство некоторых эквивалентностей
13. Непрерывность функции на множестве
• Теорема о промежуточном значении
[12B/08:27 (02:50)] Функция, непрерывная на множестве: определение
[12B/11:17 (19:22)] Теорема о промежуточном значении: формулировка и доказательство
[12B/30:39 (07:00)] Следствие
• Теоремы Вейерштрасса о свойствах функций, непрерывных на сегменте
[12B/37:39 (03:58), 13A/00:00 (14:57)] Первая теорема Вейерштрасса
[13A/14:57 (18:25), 13B/00:00 (07:09)] Вторая теорема Вейерштрасса
• Равномерная непрерывность
[13B/07:09 (08:45)] Функция, равномерно непрерывная на множестве X: определение, непрерывность равномерно непрерывной функции
[13B/15:54 (09:41)] Пример непрерывной функции, которая не является равномерно непрерывной
[13B/25:35 (04:01), 14A/00:00 (19:57)] Теорема Кантора
14. Точки разрыва
• [14A/19:57 (19:14)] Точки разрыва функций, их классификация и примеры
• Точки разрыва монотонных функций
[14A/39:11 (03:11), 14B/00:00 (13:33)] Теорема о точках разрыва монотонной функции
[14B/13:33 (07:07)] Следствие
• [14B/20:40 (13:07)] Критерий непрерывности монотонной функции
• Теорема об обратной функции
[14B/33:47 (08:49)] Формулировка и доказательство
[15A/00:00 (08:44)] Примеры применения теоремы об обратной функции
15. О-символика
• [15A/08:44 (14:58)] Функции, бесконечно малые по сравнению с другими функциями
• [15A/23:42 (05:15)] Функции, ограниченные по сравнению с другими функциями
• [15A/28:57 (10:58)] Некоторые свойства, связанные с o-символикой
• [15A/39:55 (05:28), 15B/00:00 (07:24)] Эквивалентные функции в точке
16. Дифференцируемые функции
• Предварительные замечания и основные определения
[15B/07:24 (06:23)] Дифференцируемые функции: предварительные замечания
[15B/13:47 (05:31)] Дифференцируемость функции в точке: определение
[15B/19:18 (09:32)] Производная функции
• [15B/28:50 (09:08)] Непрерывность дифференцируемой функции
• [16A/00:00 (12:50)] Дифференциал функции
• [16A/12:50 (10:50)] Производные некоторых элементарных функций
17. Свойства дифференцируемых функций
• Арифметические свойства производных и дифференциалов
[16A/23:40 (14:47)] Теорема об арифметических свойствах производных
[16A/38:27 (06:46), 16B/00:00 (07:45)] Следствия
• Дифференцирование суперпозиции
[16B/07:45 (15:16)] Теорема о дифференцировании суперпозиции
[16B/23:01 (15:56)] Следствия
• Дифференцирование обратной функции
[16B/38:57 (04:55), 17A/00:00 (14:50)] Теорема о дифференцировании обратной функции
[17A/14:50 (13:12)] Следствия: производные обратных тригонометрических функций
18. Гиперболические и обратные гиперболические функции
• [17A/28:02 (11:04)] Гиперболические функции и их свойства
• [17B/00:00 (16:45)] Обратные гиперболические функции и их свойства
19. Физический и геометрический смысл~производной
• [17B/16:45 (08:23)] Физический смысл производной
• [17B/25:08 (08:08)] Геометрический смысл производной
20. Производные высших порядков
• [17B/33:16 (14:19)] Производные высших порядков: определение и примеры
• [18A/00:00 (03:08)] Производные высших порядков для суммы и произведения функций
• [18A/03:08 (11:56)] Число сочетаний: определение и свойства
• [18A/15:04 (22:00)] Формула Лейбница дифференцирования произведения
21. Основные теоремы дифференциального~исчисления
• Локальные экстремумы функций. Теорема Ферма
[18A/37:04 (12:31)] Локальные экстремумы функций
[18A/49:35 (02:40), 18B/00:00 (13:02)] Теорема Ферма
• Теоремы Ролля, Лагранжа и Коши
[18B/13:02 (11:12)] Теорема Ролля
[18B/24:14 (09:45)] Теорема Лагранжа
[19A/00:00 (18:01)] Следствия из теоремы Лагранжа
[19A/18:01 (13:01)] Теорема Коши о конечных приращениях
22. Формула Тейлора
• Формула Тейлора для многочленов и произвольных дифференцируемых функций
[19A/31:02 (09:58)] Формула Тейлора для многочленов
[19A/41:00 (06:16)] Вывод формулы бинома Ньютона с помощью формулы Тейлора для многочленов
[19B/00:00 (07:55)] Формула Тейлора для произвольных дифференцируемых функций
• Различные представления остаточного членаnewline в формуле Тейлора
[19B/07:55 (17:45)] Вывод общей формулы для остаточного члена в формуле Тейлора
[19B/25:40 (12:51)] Представление остаточного члена в форме Коши и в форме Лагранжа
[20A/00:00 (20:31)] Представление остаточного члена в форме Пеано
• Разложение элементарных функций по формуле Тейлора в окрестности нуля
[20A/20:31 (19:50)] Разложения функций e^x, sin x, cos x, sh x, ch x
[20B/00:00 (15:52)] Разложения функций ln(1+x) и (1+x)^alpha
[20B/15:52 (05:34)] Пример применения разложений для вычисления пределов
23. Правило Лопиталя
• [20B/21:26 (08:28)] Формулировка и доказательство правила Лопиталя
• [20B/29:54 (08:59)] Примеры применения правила Лопиталя
• [21A/00:00 (17:34)] Дополнение. Пример дифференцируемой функции, производная которой не является непрерывной
24. Применение дифференциального исчисления к исследованию функций
• Локальные экстремумы функций
[20B/38:53 (06:18)] Необходимое условие существования локального экстремума
[21A/17:34 (07:51)] Первое достаточное условие существования локального экстремума
[21A/25:25 (15:50)] Второе достаточное условие существования локального экстремума
• Выпуклые функции
[21B/00:00 (16:10)] Варианты определения выпуклых функций
[21B/16:10 (15:42)] Достаточное условие выпуклости
• Точки перегиба функции
[22A/00:00 (07:37)] Определение точки перегиба
[22A/07:37 (10:20)] Необходимое условие существования точки перегиба
[22A/17:57 (07:04)] Первое достаточное условие существования точки перегиба
[22A/25:01 (12:39)] Второе достаточное условие существования точки перегиба
• Расположение графика функции относительно касательной
[22A/37:40 (02:04), 22B/00:00 (10:37)] Теорема о расположении касательной в области выпуклости функции
[22B/10:37 (09:46)] Теорема о расположении касательной в точке перегиба
1. Boundaries of sets
• [1A/00:00 (09:55)] The continuity axiom of real numbers
• Boundaries and exact boundaries of number sets
[1A/09:55 (16:59)] Bounded sets of numbers: basic definitions
[1A/26:54 (03:38)] Exact boundaries of number sets: the first definition
[1A/30:32 (06:43)] Theorems on the existence of the exact boundaries
[1B/00:00 (13:34)] Exact boundaries of number sets: the second definition
[1B/13:34 (11:02)] Maximum and minimum elements of a set
[2A/00:00 (03:23)] Uniqueness of exact boundaries
• Arithmetic operations on sets
[1B/24:36 (06:09)] Arithmetic operations on sets: definitions
[1B/30:45 (12:50)] Theorems on the exact boundaries of the sum of sets
[2A/03:23 (04:13)] Theorems on the exact boundaries of the product of a set by a number
2. Limit of a sequence
• Neighborhood and symmetric neighborhood of a point
[2A/07:36 (13:32)] Neighborhood and symmetric neighborhood: definition and properties
[3A/00:00 (01:21)] Supplement. Intersection of neighborhoods
• Definition of the limit of a sequence
[2A/21:08 (06:29)] Sequence: definition and examples
[2A/27:37 (07:52)] How to define the limit of a sequence?
[2A/35:29 (05:33), 2B/00:00 (01:07)] Definition of the limit of a sequence in the language of neighborhoods
[2B/01:07 (19:41)] Definition of the limit of a sequence in the language of symmetric neighborhoods
[2B/20:48 (11:47)] Examples of finding the limit of the sequence using the definition
[2B/32:35 (08:29)] Example of a sequence without limit
• The simplest properties of the limit of a sequence
[3A/01:21 (13:39)] The uniqueness theorem for the limit of a convergent sequence
[3A/15:00 (12:09)] A theorem on the boundedness of a convergent sequence
3. Properties of the limit of a sequence
• [3A/27:09 (18:15)] Infinitesimal sequences: definition and properties
• [3B/00:00 (13:57)] A criterion for convergence in terms of an infinitesimal
• Arithmetic properties of the limit of a sequence
[3B/13:57 (11:16)] Formulation of the theorem on arithmetic properties of the limit and proof for the limit of the sum
[3B/25:13 (06:00)] Proof for the limit of the product
[3B/31:13 (11:13)] Proof for the limit of the quotient
• Passing to the limit in inequalities
[4A/00:00 (13:32)] The first theorem
[4A/13:32 (12:50)] The second theorem
4. Infinite limits
• [4A/26:22 (04:59)] Neighborhoods of the points at infinity
• Infinitely large sequences
[4A/31:21 (04:57), 4B/00:00 (11:24)] Definitions and examples
[4B/11:24 (08:34)] The uniqueness theorem for the limit of an infinitely large sequence
• [4B/19:58 (15:10)] Arithmetic properties of infinitely large sequences
5. Monotone sequences
• [5A/00:00 (08:57)] Bounded and monotone sequences: definitions
• Convergence of monotone sequences
[5A/08:57 (15:50)] A test of convergence for monotone bounded sequences
[5A/24:47 (04:52)] Convergence criterion for monotone sequences
• Examples of application of the convergence theorem for monotone sequences
[5A/29:39 (08:43), 5B/00:00 (02:36)] Example 1: x_n = 1/q^n
[5B/02:36 (11:54)] Example 2: x_n = n/q^n
[5B/14:30 (12:26)] Other examples
[5B/26:56 (13:26), 6A/00:00 (11:32)] The limit of the sequence (1+1/n)^n and Bernoulli’s inequality
[6A/11:32 (08:40)] Increasing of sequence (1+1/n)^n
6. Nested segments theorem and Bolzano-Cauchy theorem on the limit point
• Nested segments theorem
[6A/20:12 (07:11)] Sequence of nested segments and sequence of contracting segments: definitions and examples
[6A/27:23 (13:30)] Nested segments theorem
• Limit points of a set. Bolzano-Cauchy theorem
[6B/00:00 (09:53)] Limit points of a set: two definitions, proof of their equivalence
[6B/09:53 (16:30)] The limit point theorem (Bolzano-Cauchy)
7. Subsequences. Cauchy criterion
• Subsequences. Bolzano-Weierstrass theorem
[6B/26:23 (05:32)] Subsequences: definition and examples
[6B/31:55 (11:27)] The theorem on subsequences of a convergent sequence
[7A/00:00 (15:54)] The Bolzano-Weierstrass theorem on a convergent subsequence
[7A/15:54 (08:57)] Corollary
[7A/24:51 (04:55)] An example of an unbounded sequence with no limit
• Fundamental sequences. Cauchy criterion for sequence convergence
[7A/29:46 (04:25)] Fundamental sequences: definition
[7A/34:11 (05:20), 7B/00:00 (26:41)] The Cauchy criterion for sequence convergence
8. The limit of a function
• Definition and uniqueness of the limit of a function
[7B/26:41 (19:39)] Definitions of the limit of a function and their equivalence
[8A/00:00 (12:21)] The uniqueness theorem for the limit of a function
• Criterion for the existence of the limit of a function in terms of sequences
[8A/12:21 (03:49)] Formulation of the criterion
[8A/16:10 (11:56)] Proof of necessity
[8B/00:00 (13:41)] Proof of sufficiency
• [8B/13:41 (20:11)] Examples of functions with and without limits
• [8B/33:52 (08:22)] Limits at the points at infinity and infinite limits
9. Properties of the limit of a function
• [9A/00:00 (19:33)] Limit of a function and arithmetic operations
• [9A/19:33 (15:26)] Passing to the limit of a function in inequalities
• The theorem on the limit of superposition of functions
[9B/00:00 (23:05)] Formulation and proof
[9B/23:05 (09:53)] An example showing the importance of condition 3 of the superposition limit theorem
10. One-sided limits. Some important function limits
• [10A/00:00 (07:32)] Definition of one-sided limits of a function
• [10A/07:32 (14:50)] Criterion for the existence of the limit of a function in terms of one-sided limits
• [10A/22:22 (20:00)] The first remarkable limit
• [10B/00:00 (25:30)] The second remarkable limit
11. The limits of monotone bounded functions. Cauchy criterion for functions
• Monotone and bounded functions
[10B/25:30 (10:13)] Monotone functions and bounded functions: definitions
[10B/35:43 (02:35), 11A/00:00 (16:34)] Theorems on the limits of monotone bounded functions
• Cauchy criterion for the existence of the function limit
[11A/16:34 (09:39)] Formulation of the criterion and proof of necessity
[11A/26:13 (12:19), 11B/00:00 (12:04)] Proof of sufficiency
12. Continuity of function at a point
• [11B/12:04 (09:27)] Definition of a continuous function at a point
• [11B/21:31 (09:55)] Examples of continuous functions
• [11B/31:26 (08:09)] Simplest properties of continuous functions
• [11B/39:35 (06:02)] Arithmetic properties of continuous functions
• Superposition of continuous functions
[12A/00:00 (17:50)] The superposition limit theorem in the case when the external function is continuous
[12A/17:50 (05:29)] The continuity of the superposition of continuous functions
[12A/23:19 (17:34), 12B/00:00 (08:27)] Proof of some equivalences
13. Continuity of a function on a set
• Intermediate value theorem
[12B/08:27 (02:50)] A function continuous on a set: definition
[12B/11:17 (19:22)] Intermediate value theorem: formulation and proof
[12B/30:39 (07:00)] Corollary
• Weierstrass theorems on the properties of functions continuous on a segment
[12B/37:39 (03:58), 13A/00:00 (14:57)] The first Weierstrass theorem
[13A/14:57 (18:25), 13B/00:00 (07:09)] The second Weierstrass theorem
• Uniform continuity
[13B/07:09 (08:45)] A function uniformly continuous on a set X: definition, continuity of a uniformly continuous function
[13B/15:54 (09:41)] An example of a continuous function that is not uniformly continuous
[13B/25:35 (04:01), 14A/00:00 (19:57)] Cantor's theorem
14. Points of discontinuity
• [14A/19:57 (19:14)] Points of discontinuity of a function, their classification and examples
• Discontinuity points for monotone functions
[14A/39:11 (03:11), 14B/00:00 (13:33)] Theorem on the points of discontinuity of a monotone function
[14B/13:33 (07:07)] Corollary
• [14B/20:40 (13:07)] Criterion for the continuity of a monotone function
• Inverse function theorem
[14B/33:47 (08:49)] Formulation and proof
[15A/00:00 (08:44)] Examples of application of the inverse function theorem
15. O-notation
• [15A/08:44 (14:58)] Functions which are infinitesimal in comparison with other functions
• [15A/23:42 (05:15)] Functions which are bounded in comparison with other functions
• [15A/28:57 (10:58)] Some properties related to o-notation
• [15A/39:55 (05:28), 15B/00:00 (07:24)] Equivalent functions at a point
16. Differentiable functions
• Preliminary remarks and basic definitions
[15B/07:24 (06:23)] Differentiable functions: preliminary remarks
[15B/13:47 (05:31)] Differentiability of a function at a point: definition
[15B/19:18 (09:32)] Derivative of a function
• [15B/28:50 (09:08)] Continuity of a differentiable function
• [16A/00:00 (12:50)] Differential of a function
• [16A/12:50 (10:50)] Derivatives of some elementary functions
17. Properties of differentiable functions
• Arithmetic properties of derivatives and differentials
[16A/23:40 (14:47)] Theorem on arithmetic properties of derivatives
[16A/38:27 (06:46), 16B/00:00 (07:45)] Corollaries
• Differentiation of superposition
[16B/07:45 (15:16)] Theorem on the differentiation of superposition
[16B/23:01 (15:56)] Corollaries
• Differentiation of inverse function
[16B/38:57 (04:55), 17A/00:00 (14:50)] Theorem on the differentiation of an inverse function
[17A/14:50 (13:12)] Corollaries: derivatives of inverse trigonometric functions
18. Hyperbolic and inverse hyperbolic functions
• [17A/28:02 (11:04)] Hyperbolic functions and their properties
• [17B/00:00 (16:45)] Inverse hyperbolic functions and their properties
19. Physical sense and geometric sense of the derivative
• [17B/16:45 (08:23)] Physical sense of the derivative
• [17B/25:08 (08:08)] Geometric sense of the derivative
20. Higher-order derivatives
• [17B/33:16 (14:19)] Higher-order derivatives: definition and examples
• [18A/00:00 (03:08)] Higher-order derivatives for sum and product of functions
• [18A/03:08 (11:56)] Number of combinations: definition and properties
• [18A/15:04 (22:00)] The Leibniz rule for the differentiation of a product
21. The basic theorems of differential calculus
• Local extrema of functions. Fermat's theorem
[18A/37:04 (12:31)] Local extrema of functions
[18A/49:35 (02:40), 18B/00:00 (13:02)] Fermat's theorem
• Rolle's theorem, Lagrange's theorem, and Cauchy's mean value theorem
[18B/13:02 (11:12)] Rolle's theorem
[18B/24:14 (09:45)] Lagrange's theorem
[19A/00:00 (18:01)] Corollaries of Lagrange's theorem
[19A/18:01 (13:01)] Cauchy's mean value theorem
22. Taylor's formula
• Taylor's formula for polynomials and for arbitrary differentiable functions
[19A/31:02 (09:58)] Taylor's formula for polynomials
[19A/41:00 (06:16)] Deriving the binomial formula using Taylor's formula for polynomials
[19B/00:00 (07:55)] Taylor's formula for arbitrary differentiable functions
• Various representations of the remainder term in Taylor's formula
[19B/07:55 (17:45)] General formula for the remainder term in Taylor's formula
[19B/25:40 (12:51)] Representation of the remainder term in the form of Cauchy and in the form of Lagrange
[20A/00:00 (20:31)] Representation of the remainder term in the Peano form
• Expansions of elementary functions by Taylor's formula in a neighborhood of zero
[20A/20:31 (19:50)] Expansions of functions e^x, sin x, cos x, sinh x, cosh x
[20B/00:00 (15:52)] Expansions of the functions ln(1+x) and (1+x)^alpha
[20B/15:52 (05:34)] Example of using expansions to calculate limits
23. L'Hospital's rule
• [20B/21:26 (08:28)] Formulation and proof of L'Hospital's rule
• [20B/29:54 (08:59)] Examples of applying L'Hospital's rule
• [21A/00:00 (17:34)] Supplement. An example of a differentiable function whose derivative is not continuous
24. Application of differential calculus to the study of functions
• Local extrema of functions
[20B/38:53 (06:18)] A necessary condition for the existence of a local extremum
[21A/17:34 (07:51)] The first sufficient condition for the existence of a local extremum
[21A/25:25 (15:50)] The second sufficient condition for the existence of a local extremum
• Convex functions
[21B/00:00 (16:10)] Definitions of convex functions
[21B/16:10 (15:42)] Sufficient condition for convexity
• Inflection points of a function
[22A/00:00 (07:37)] Definition of an inflection point
[22A/07:37 (10:20)] A necessary condition for the existence of an inflection point
[22A/17:57 (07:04)] The first sufficient condition for the existence of an inflection point
[22A/25:01 (12:39)] The second sufficient condition for the existence of an inflection point
• Location of the graph of a function relative to a tangent line
[22A/37:40 (02:04), 22B/00:00 (10:37)] A theorem on the location of a tangent line in the domain of convexity of a function
[22B/10:37 (09:46)] A theorem on the location of a tangent at an inflection point