Тематический план
-
Цель данного курса -- знакомство с основными математическими моделями непрерывного сигнала и средствами их исследования. В этом ключе будут рассмотрены интегральные преобразования, интегральные уравнения, возникающие в задачах фильтрации сигнала и методы их решения, а также основы вэйвлет-анализа. Практические занятия позволят познакомиться с обширным инструментарием математического моделирования, предоставляемым пакетом символьных вычислений Maple. Для освоения курса достаточно знания основ анализа и линейной алгебры.
Итоговый рейтинг слушателя формируется по результатам исполнения индивидуальных заданий в семестре, предварительного этапа подготовки реферата в конце семестра, и экзамена. Экзамен представляет собой устную защиту реферата в форме презентации.
-
1.1 Распределения медленного роста. Преобразование Фурье. Операторы свёртки и мультипликаторные преобразования. Теорема Винера-Пэли. Понятие о других интегральных преобразованиях (Лапласа, Меллина и т.д.). Cоответствующие инструментальные средства среды Maple.
1.2.Сигнал как распределение медленного роста. Оператор свёртки как математическая модель частотного фильтра. Спектр мощности и автокорреляционная функция. Реализация в Maple.
-
Дает представление о ПФ и ДПФ и о работе с ними в среде Maple.
-
Дает представление о фильтрации сигнала, о простейших фильтрах, и о реализации фильтрации в виде свёрток.
-
2.1. Сигнал как случайный процесс. Винеровский процесс и белый шум. Оптимальный фильтр Винера. Уравнение оптимального фильтра. Уравнение Винера-Хопфа.
2.2. Вспомогательные факты комплексного анализа. Односторонние преобразования Фурье. Теорема Лиувилля и формулы Сохоцкого.
2.3. Теория Винера-Хопфа. Редукция к задаче Римана. Индекс. Реализация в Maple-
Дает представление о решении уравнения Винера-Хопфа и задачи Римана.
-
3.1. Введение: теорема Котельникова и её развитие,. вэйвлетные и оконные преобразования. Основные задачи теории вэйвлет-преобразований.
3.2. Основы теории непрерывных и дискретных вэйвлет-преобразований. Базисы вэйвлетов. Кратномасштабный анализ.
3.3. Обзор приложений к задачам обработки сигнала-
Дает представление о простейших вэйвлет-преобразованиях.